线性代数课后习题答案 复旦大学出版社 熊维玲

第一章

3.如果排列x1x2?xn是奇排列,则排列xnxn?1?x1的奇偶性如何？

解：排列xnxn?1?x1可以通过对排列x1x2?xn经过(n?1)?(n?2)?L?2?1?次邻换得到，每一次邻换都改变排列的奇偶性，故当奇排列，当

n(n?1)2n(n?1)为偶数时，排列xnxn?1?x1为2n(n?1)为奇数时，排列xnxn?1?x1为偶排列。 24. 写出4阶行列式的展开式中含元素a13且带负号的项.

ttt解：含元素a13的乘积项共有(?1)a13a22a31a44，(?1)a13a22a34a41，(?1)a13a21a32a44，

(?1)ta13a21a34a42，(?1)ta13a24a32a41，(?1)ta13a24a31a42六项，各项列标排列的逆序数分别

为t??(3214)?3，t??(3241)?4，t??(3124)?2，t??(3142)?3，t??(3421)?5，

t??(3412)?4， 故所求为?1a13a22a31a44，?1a13a21a34a42，?1a13a24a32a41。

005.按照行列式的定义,求行列式?n?10?????02?0010?00t00?的值. 0n解：根据行列式的定义，非零的乘积项只有(?1)a1,n?1a2,n?2Lan?1,1ann，

(n?1)(n?2)，故行列式的值等于：

22xx121x1?1436. 根据行列式定义,分别写出行列式的展开式中含x的项和含x的项.

32x1111x其中t??[(n?1)(n?2)L21n]?t044解：展开式含x的乘积项为(?1)a11a22a33a44?(?1)2x?x?x?x?2x t133含x的乘积项为(?1)a12a21a33a44?(?1)x?1?x?x??x

8. 利用行列式的性质计算下列行列式：

r4?4r1r1?1023412341012?110r3?3r110 解： (1)

3412r1?(r2?r3?r4)341201?2?1r2?2r1412341230?3?2?112341111111111r4?3r2r3?r22

10111111012?1012?1r4?r310?10?1?1?(?4)?(?4)?16000?4000?41004?41002410?4124141

1

3?121?13210562c?cr?2r?0（第二行与第 (2) 1231123221320?3?50r2?r1506205620562四行相同）

a2abb2111112r?ar1?0b?a(3)2aa?b2br1?r3?2aa?b2b3r?2ar1111a2abb220ab?a212b?2a b2?a21?x (4)

111xx0011001 11111?x111?x111r3?r411?x11r1?r200x1?x11111?x1?x2x0011111?x11?x9.若

1234567800x300451234=0,求x.

15005678260015x4转置????4(5x?12) 解：

00x337x4263500454835 即有：?4(5x?12)?0?x?12 511. 利用行列式按行或列展开的方法计算下列行列式： 解： (2)

?(1?a)[(1?a)D2?aD1]?aD2?(1?a?a2)D2?a(1?a)D1，其中：

D2?1?a?1a1?a?(1?a)2?a?1?a?a2，D1?1?a?1?a.带入上式即可。

abccbddbcabddaac12. 设4阶行列式D4?，求A14?A24?A34?A44 .

abc1解：显然，行列式

cbd1dbc1按第四列展开，即得A14?A24?A34?A44。注意到该行列

abd1式的第四列与第一列元素成比例，其值为0，故A14?A24?A34?A44?0.

??x1?x2?x3?014. 当?、?取何值时，齐次线性方程组???x1??x2?x3?0 ?x1?2?x2?x3?0有非零解？

?11??11?2?0解：当系数行列式

D?1?1?0??0???11?2??12?112?10????(??1)?0时，齐次线性方程组有非零解，于是要求??1或??0

B

15.计算下列行列式:

1?aL111L1111L1(1)

11?a2L101?a11LLLL?011?a2L1（加边法） 11L1?aLLLn011L1?ann111L11??1a11L1?1a0i?1i10L??10a0?0a10L012LLLL00a2L0（第二列的a倍……第n?1列1?100LaLLLn000Lan的1na倍都加到第一列）按第一列展开(1??1)a1a2Lan ni?1ai (2)

xy0L000xyL00xyL0y0LDn?LLLLLL按第一列展开x?0xL0?y?(?1)n?1xyL000LxyLLLLy00L0x00Lx00L00y?xn?(?1)n?1yn

12(3) 2222L2L22?10222L2L2223LLLLL222L2c1?c20LLn0LLLLL23LLLL22L2展开?1?LLL22LnLLLLL222L3L22n

an(a?1)nan?1(a?1)n?1 (4) Dn?1?LLaa?11111(a?n)na?na?(n?1)(a?n)n?1?LLL(a?n)n?1[a?(n?1)]n?1a?n(a?n)n[a?(n?1)]n11aL an?1an记x1?a?n,x2?a?(n?1),Lxn?1?a，由范德蒙行列式的结论可知，Dn?1?1?j?i?n?(i?j).

第二章 矩阵

?111??123?????T1（本题为类似题）．设A?11?1， B??1?24,求3AB?2A及AB.

?????1?11??051??????111??123??111???????解:3AB?2A?311?1?1?24?211?1 ???????1?11??051??1?11???????2（部分原题，部分类似题）．计算下列乘积：

?431??7??1?23??2?(1)?????570??1??????3???； (2)?1,2,3?2???1????2?

?1??1,2； (3)?????3???

；

?131????2140??0?12?(4)???1?31?；

1?134????40?2???a11?(5)(x1,x2,x3)a12??a?13a12a22a23a13??x1??.

a23??x2????a33????x3??431??7??4?7?3?2?1?1??35?????????解:(1)1?232?1?7?(?2)?2?3?1?6 ?????????570??1??5?7?7?2?0?1??49?????????