天津大学最优化历年试题

2003—2008《工程与科学计算》历届试题类型 1. 直解法

例 1. 用列主元素Gauss消去解下列线性方程组（结果保留5位小数）

x1?0.8100x2?0.9000x3?0.6867?0.7290?x1?1.0000x2?1.0000x3?0.8338 ?1.0000

?1.3310x1?1.2100x2?1.1000x3?1.0000??1?例2. 设线性方程组Ax?b,其中 A?1?21??3121314?1?4? 1?5?13 求Cond?(A)，并分析线性方程组是否病态 ? 2.迭代法

例1. 设线性方程组Ax?b为

??? ?1????2?2??22??x1??1??1??x2???2? ， ??0 ??????????x3????2?? 写出求解线性方程组的Jacobi迭代格式，并确定当?取何值时Jacobi迭代格式收敛.

例2. 写出求解线性方程组Ax?b的Seidel迭代格式，并判断所写格式的收敛性，其中Ax?b为

?3x1? ???2x1?3.插值

?2x3?62x2?x2?x3?8 ?2x3?5例 1. 已知100?10,121?11,144?12,

（1）试用二次插值多项式计算115的近似值（数据保留至小数点后第5位） （2）估计所得结果的截断误差（数据保留至小数点后第5位）

例 2. 由下列插值条件

x f(x) 1 4 2 1 4 0 6 1 7 1 求4次Newton插值多项式, 并写出插值余项. 4. Runge—Kutta格式

例 写出标准Runge?Kutta方法解初值问题

?y''?xy'?2y2?sinx ? 的计算格式 '?y(0)?1,y(0)?11

5. 代数精度

例 1. 数值求积公式形如

?10xf(x)dx?S(x)?A0f(0)?A1f(1)?A2f?(0)?A3f?(1)

试确定其中参数A1,A2,A3,A4,使其代数精度尽量高, 并确定代数精度. 例 2. 验证数值求积公式

?20f(x)dx?A0f(1?35)?A1f(1)?A2f(1?35)

是Gauss型求积公式.

6．Romberg方法 例 对积分?101?x2dx，用Romberg方法计算积分的近似值，误差不超过10?5并将结果填

入下表（结果保留至小数点后第五位）. k 0 1 2 3 4 7．证明

T2k S2k C2k R2k （1）设?(x)为[a,b]上关于权函数?(x)的n次正交多项式，以?(x)的零点为节点建立

Lagrange插值基函数{li(x)}，

证明：

证明: 设n次正交多项式?(x)的零点为x1,x2,?xn，则以这n个零点为节点建立的

?ba?(x)li(x)dx???(x)[li(x)]2dx,i?1,2,?,nab

Lagrange插值基函数{li(x)},i?1,2?,n是n-1次多项式，?li(x)?是2n-2次多项式. 故

当f(x)取li(x)和?li(x)?时Gauss型求积公式

22?

ba?(x)f(x)dx??Akf(xk)k?1n

等号成立, 即

?ba?(x)li(x)dx??Akli(xk)?Aik?1n

2

?ba?(x)li(x)dx??Akli2(xk)?Ai2k?1n

则有

?ba?(x)li(x)dx???(x)[li(x)]2dx,i?1,2,?,nab

（2）对线性方程组Ax?b，若A是n阶非奇异阵，b?0，x*是Ax?b的精确解，x是

Ax?b的近似解。记r?b?Ax

证明：

x?x*x*?CondArb

???证明：由于x*是Ax?b的精确解，则 Ax?b，r?b?Ax?Ax?Ax?A(x?x) 又A是n阶非奇异阵，则 x??x?A?1r

??1?1r，且b?Ax??Ax?，则 x? x?x?Ar?AbA

故

x?x*x*?A?1rbA?A?1Arb?CondArb

（3）初值问题y??ax?b,y(0)?0有解y(x)?1ax2?bx，若xn?nh，yn是用Euler212格式解得的y(x)在x?xn处的近似值，证明：y(xn)?yn?证明：记 f(x,y)?ax?b,ahxn .

f(xn,yn)?fn，且y(0)?0，xn?nh Euler格式为

yn?1?yn?hf(xn,yn) 则有

yn?yn?1?hfn?1?(yn?2?hfn?2)?hfn?1???

?y0?hf0?hf1???hfn?1

?h(ax0?b)?h(ax1?b)???h(axn?1?b)?hb?ah?hb?2ah?hb??(n?1)ah?hb?n(n?1)22ah2?nhb?1axn?1ahx?bxn2212222

y(xn)?yn?22axn?bxn?(1axn?bxn?1ahxn)?1ahxn. 222（4）设A?Cn?n为非奇异阵，试证：线性方程组Ax?b的数值解可用Seidel迭代方法求得.

3

证明：因为A为非奇异矩阵，故Ax?b与AAx?Ab是同解方程组，而ATA正定，则Seidel格式收敛，即用Seidel方法一定能求得Ax?b的解.

TT?y??f(x,y),（5）试导出求解初值问题 ?y(a)?y0?a?x?b

n?y??y?0?2?h?的梯形格式，并证明用梯形格式解初值问题 ? 所得数值解为yn???y(0)?12?h?? ?证明 将 y??f(x,y) 在 [xn,xn?1] 上积分, 得 y(xn?1)?y(xn)??xn?1xnf(x,y(x))dx.

将右端的积分用梯形公式计算其近似值, 并用yn,yn?1分别代替y(xn),y(xn?1), 得 yn?1?yn?h2[f(xn,yn)?f(xn?1,yn?1)]

将f(x,y)??y代入梯形公式

(?yn?yn?1), 则有 yn?yn?1?h(?yn?1?yn) 得 yn?1?yn?h22?2?h??2?h??2?h? 得 yn???yn?1???yn?2????y0

2?h2?h2?h???????2?h? 因为 y0?1, 得 yn???.

?2?h?

（6）设f?C4n2n?x0,x2?,h?x2?x02,x1?x0?h，证明

h212f??(x1)?1h2[f(x0)?2f(x1)?f(x2)]?f(4)(?),??(x0,x2)

证明：f(x)的二次Lagrange插值多项式及余项形式为

f(x)?[f(x0)?(x?x1)(x?x2)(x0?x1)(x0?x2)?f(x1)(x?x0)(x?x1)(x1?x0)(x1?x2)?f(x2)(x?x0)(x?x1)(x2?x0)(x2?x1)]f???(?)3!(x?x0)(x?x1)(x?x2),??(x0,x2)

4

其二阶导数为

f??(x)?[f(x0)?f(5)2(x0?x1)(x0?x2)(?2)?f(x1)2(x1?x0)(x1?x2)2f(4)?f(x2)2(x2?x0)(x2?x1)]5!4!f???(?)?[(x?x0)(x?x1)(x?x2)]??,?,?1,?2?(x0,x2)3!注意到h?(x?x0)(x?x1)(x?x2)?(?1)[(x?x0)(x?x1)(x?x2)]?x2?x02,22h2x1?x0?h，有

2?h2f??(x1)?[f(x0)?f(5)?f(x1)2f?f(x2)(?h2)?22(?2)(4)5!?0?(?1)2hf???(?)3!]

4!?0,?,?1,?2?(x0,x2)即

f??(x1)?1h2[f(x0)?2f(x1)?f(x2)]?h212f(4)(?),??(x0,x2)

（7）证明求积公式

?20f(x)d?x59f(1?35)?89f(1?)593f?(1

5) 是稳定的.

?y??f(x,y)a?x?b（8）设初值问题? 中的f区域D上关于y满足Lipschitz条件，

y(a)?y0?h?y?y?(K1?3K2)n?1n?4?证明：格式 ?K1?f(xn,yn) 是收敛的.

?22?Kn?f(xn?h,yn?hK1)33?倒数第三题，求A0、A1、A2参数的那道题，前面积分限是0到1，而后面求积公式的

第一个求积节点居然小于0！（1/2-根号3/5），在积分限之外。

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