初高中衔接3-二次函数

2．2 二次函数

2.2.1 二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像和性质

12

x，y＝－2x2的图象，通过这些函2问题1 函数y＝ax2与y＝x2的图象之间存在怎样的关系？ 为了研究这一问题，我们可以先画出y＝2x2，y＝

数图象与函数y＝x2的图象之间的关系，推导出函数y＝ax2与y＝x2的图象之间所存在的关系．

先画出函数y＝x2，y＝2x2的图象． 先列表： x x2 2x2 … … … －3 9 18 －2 4 8 －1 1 2 0 0 0 1 1 2 2 4 8 y＝2x 23 9 18 y … … y＝x2 从表中不难看出，要得到2x2的值，只要把相应的x2的值扩大两倍就可以了．

再描点、连线，就分别得到了函数y＝x2，y＝2x2的图象（如图2－1所示），从图2－1我们可以得到这两个函数图象之间的关系：函数y＝2x2的图象可以由函数y＝x2的图象各点的纵坐标变为原来的两倍得到．

同学们也可以用类似于上面的方法画出函数y＝

y＝－2x2的图象，并研究这两个函数图象与函数y＝x2的图象之间的关系． x O 通过上面的研究，我们可以得到以下结论：

y 图2.2-1 二次函数y＝ax2(a≠0)的图象可以由y＝x2的图象

y＝2(x＋1)2＋1 各点的纵坐标变为原来的a倍得到．在二次函数y＝

ax2(a≠0)中，二次项系数a决定了图象的开口方向和在

y＝2(x＋1)2 同一个坐标系中的开口的大小．

y＝2x2 问题2 函数y＝a(x＋h)2＋k与y＝ax2的图象之间

存在怎样的关系？

同样地，我们可以利用几个特殊的函数图象之间的关系来研究它们之间的关系．同学们可以作出函数y

22

＝2(x＋1)＋1与y＝2x的图象（如图2－2所示），从

2

函数的同学我们不难发现，只要把函数y＝2x的图象向左平移一个单位，再向上平移一个单位，就可以得到函数y＝2(x＋1)2＋1的图象．这两个函数图象之间x －1 O 具有“形状相同，位置不同”的特点．

类似地，还可以通过画函数y＝－3x2，y＝－3(x图2.2-2 2

－1)＋1的图象，研究它们图象之间的相互关系．

通过上面的研究，我们可以得到以下结论：

二次函数y＝a(x＋h)2＋k(a≠0)中，a决定了二次函数图象的开口大小及方向；h决定了二次函数图象的左右平移，而且“h正左移，h负右移”；k决定了二次函数图象的上下平移，而且“k正上移，k负下移”．

由上面的结论，我们可以得到研究二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象的方法：

12x，2bbb2b22

由于y＝ax＋bx＋c＝a(x＋x)＋c＝a(x＋x＋2)＋c－

aa4a4a2

2

所以，y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象可以看作是将函数y＝ax2的图象作左右平移、上下平移得到的，于是，二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)具有下列性质：

b2b2?4ac)? ?a(x?， 2a4ab4ac?b2,)，（1）当a＞0时，函数y＝ax＋bx＋c图象开口向上；顶点坐标为(?2a4abbb对称轴为直线x＝－；当x＜?时，y随着x的增大而减小；当x＞?时，y随着

2a2a2ab4ac?b2x的增大而增大；当x＝?时，函数取最小值y＝．

2a4ab4ac?b22

,)， （2）当a＜0时，函数y＝ax＋bx＋c图象开口向下；顶点坐标为(?2a4abbb对称轴为直线x＝－；当x＜?时，y随着x的增大而增大；当x＞?时，y随着

2a2a2ab4ac?b2x的增大而减小；当x＝?时，函数取最大值y＝．

2a4a2

上述二次函数的性质可以分别通过图2．2－3和图2．2－4直观地表示出来．因此，在

今后解决二次函数问题时，可以借助于函数图像、利用数形结合的思想方法来解决问题．

2y b4ac?by b ,) A(?x＝－ 2a4a 2a O x O x b4ac?b2b ,) A(?x＝－ 2a4a2a 图2.2-4 图2.2-3

A(－1,4) y 例1 求二次函数y＝－3x2－6x＋1图象的开口方向、

对称轴、顶点坐标、最大值（或最小值），并指出当x取何值时，y随x的增大而增大（或减小）？并画出该函数的图象．

D(0,1)

O B x C x＝－1

图2.2－5

例2 某种产品的成本是120元/件，试销阶段每件产品的售价x（元）与产品的日销售量y（件）之间关系如下表所示： 130 150 165 x /元 70 50 35 y/件 若日销售量y是销售价x的一次函数，那么，要使每天所获得最大的利润，每件产品的销售价应定为多少元？此时每天的销售利润是多少？

例3 把二次函数y＝x2＋bx＋c的图像向上平移2个单位，再向左平移4个单位，得到函数y＝x2的图像，求b，c的值．

例4 已知函数y＝x2，－2≤x≤a，其中a≥－2，求该函数的最大值与最小值，并求出函数取最大值和最小值时所对应的自变量x的值．

练 习 1．选择题：

（1）下列函数图象中，顶点不在坐标轴上的是 （ ） （A）y＝2x2 （B）y＝2x2－4x＋2 （C）y＝2x2－1 （D）y＝2x2－4x

（2）函数y＝2(x－1)2＋2是将函数y＝2x2 （ ）

（A）向左平移1个单位、再向上平移2个单位得到的 （B）向右平移2个单位、再向上平移1个单位得到的 （C）向下平移2个单位、再向右平移1个单位得到的 （D）向上平移2个单位、再向右平移1个单位得到的 2．填空题 （1）二次函数y＝2x2－mx＋n图象的顶点坐标为(1，－2)，则m＝ ，n＝ ．

2

（2）已知二次函数y＝x+(m－2)x－2m，当m＝ 时，函数图象的顶点在y轴上；当

m＝ 时，函数图象的顶点在x轴上；当m＝ 时，函数图象经过原点． （3）函数y＝－3(x＋2)2＋5的图象的开口向 ，对称轴为 ，顶点坐标

为 ；当x＝ 时，函数取最 值y＝ ；当x 时，y随着x的增大而减小．

3．求下列抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标、最大（小）值及y随x的变化情况，并画出其图象．

（1）y＝x2－2x－3； （2）y＝1＋6 x－x2．

4．已知函数y＝－x2－2x＋3，当自变量x在下列取值范围内时，分别求函数的最大值或最小值，并求当函数取最大（小）值时所对应的自变量x的值：

（1）x≤－2；（2）x≤2；（3）－2≤x≤1；（4）0≤x≤3．

2.2.2 二次函数的三种表示方式

二次函数可以表示成以下两种形式： 1．一般式：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)；

2．顶点式：y＝a(x＋h)2＋k (a≠0)，其中顶点坐标是(－h，k)．

除了上述两种表示方法外，它还可以用另一种形式来表示．为了研究另一种表示方式，我们先来研究二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴交点个数．

当抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴相交时，其函数值为零，于是有

ax2＋bx＋c＝0． ①