2018年高考数学复习题：第261—265题（含答案解析）

感知高考刺金261题

在?ABC中,D是边AC上一点,AB?AC?6,AD?4,若?ABC的外心O恰在线段BD上,则

BC? ．

解：设AO??AB??1???AD??AB?因为?ABC是等腰三角形,故??故有AO?23AB?AC 552?1???AC 322?1???,即??

5313?2?再对上式两边同时与AB作数量积,有AOAB??AB?AC?AB,得cosA?

45?5?故由余弦定理得BC2?AB2?AC2?2ABACcosA?54

即BC?36 点评：本题的一个难点在于从等腰三角形想到AO在AB,AC方向的分量一样,即系数一致求出?。其次还是向量与外心合作的老套路——点积转边长。

感知高考刺金262题

已知平面?和?相交形成的四个二面角中的其中一个为60,则在空间中过某定点P与这两个平面所成的线面角均为30的直线l有 条． 解：设平面?和平面?过点P的法线（垂直于平面的直线）分别为m,n,则m,n?60

而直线l与两个平面所成的线面角均为30可转化为直线l与法线m,n所成的角均为60

由“鸡爪定理”可知,直线l与法线m,n所成角为60的直线有

3条。

点评：平面的法向量是平面方向的代表。 “鸡爪定理”：如图,若直线m,n所成角为?,则与直线m,n所成角相同的直线l一定在直线??????????m,n的角平分面上,且该角的取值范围是?,?和?,?

?22??22?其中

?????与就是直线l正好为直线m,n的两条角平分线时,就是垂直时取得。 222

感知高考刺金263题

已知向量a,b满足2a?3b?1,则a?b最大值为 。

2解法1：（方程构造法）构造方程?2a?3b??(2a?3b)?24a?b

2(2a?3b)2(2a?3b)21(2a?3b)211则a?b?,当且仅当2a?3b,且a?时,上式????24242424244等号成立．

解法2：（不等式法）对于条件2a?3b?1,则有4a2?9b2?12ab?1, 又因?2a?3b??0,则有4a2?9b2?12a?b,则12a?b?1?12a?b, 因此a?b最大值为

21 24解法3：（极化恒等式法）设2a?OA,3b?OB,取AB的中点为M,OM?1,对于2B M

?OAB,因?BOA可以变化,当?BOA趋向于0度时,MB趋向于0,

而OM?22111,则2a?3b?OA?OB?OM－MB?-0?,

4421因此a?b最大值为

24

感知高考刺金264题

2O A

2已知过点A?0,1?,且斜率为k的直线l与圆C：?x?2??(y?3)?1相交于M,N两点．

则AM?AN? ．

解法1：（普通方法）设直线l与圆的交点为M(x1,y1),N(x2,y2), 则AM?(x1,y1?1),AN?(x2,y2?1),

222由直线y?kx?1与圆?x?2??(y?3)?1联立得1?kx?4(1?k)x?7?0,

2??12k2?4k?174(1?k)2,x1?x2?因此有x1x2?,y1y2?kx1x2?k?x1?x2??1?, 2221?k1?k1?k6k2?4k?2y1?y2?k(x1?x2)?2?,因此可得AM?AN?x1x2?y1y2?(y1?y2)?1

1?k2

712k2?4k?16k2?4k?2????1?7 1?k21?k21?k2解法2：（极化恒等式）

如图所示,取MN的中点为G,则CG?MN,

22MN由极化恒等式可得AM?AN?AG??AG?MG

422y M G N C A ?AC?CG?(MC?CG)

?22?22O x ?AC?MC?AC?1?8?1?7

点评：这里的极化恒等式并没有出现在三角形中,但仍然适用。其本质就是圆的切割线定理。

感知高考刺金265题

222x2y2??1上经过原点的一条动弦,M已知A,B为双曲线

164为圆C：x2?(y?2)2?1上的一个动点,则MA?MB的最大值为 。

解法1：（普通方法）设M?x0,y0?,满足x02?(y0?2)2?1；

x12y12??1 设A?x1,y1?,B(?x1,?y1),满足

164MA?(x1?x0,y1?y0),MB?(?x1?x0,?y1?y0),

因此MA?MB?x0?x1?y0?y1?x02?y02?(x12?y12)

2222x1215?1?(y0?2)?y0?[x?(?1)?4]?1?4y0?x12,

4162221因此MA?MB的最大值为1?4?y0?max?15152x?1?4?3??16??7 ?1?min44解法2：（借助于极化恒等式）如图所示,O为A,B的中点, 由极化恒等式可得MA?MB?MO?OA,

22

2max而MO?(2?1)2?9,OAmin?42,

22max?OAmin?9?4??7

22因此MA?MB的最大值为MO