第2章2.1.5知能优化训练

1．下列命题正确的是( )

A．a与b共线，b与c共线，则a与c也共线

B．任意两个相等的非零向量的始点与终点是一平行四边形的四顶点 C．向量a与b不共线，则a与b都是非零向量 D．有相同起点的两个非零向量不平行

解析：选C.由于零向量与任一向量都共线，所以A不正确；由于数学中研究的向量是自由向量，所以两个相等的非零向量可以在同一直线上，而此时就构不成四边形，不是平行四边形的四个顶点，所以B不正确；向量的平行只要方向相同或相反即可，与起点是否相同无关，所以D不正确；假若a与b至少有一个是零向量，而零向量与任一向量都共线，可得a与b共线，这与a与b不共线矛盾，所以有a与b都是非零向量，所以应选C.

2．已知e1≠0，λ∈R，a＝e1＋λe2，b＝2e1，若a∥b，则( ) A．λ＝0 B．e2＝0 C．e1∥e2 D．e1∥e2或λ＝0 解析：选D.∵a∥b，

∴存在实数k，使a＝kb，即(2k－1)e1＝λe2， ∵e1≠0，∴若2k－1＝0，则λ＝0或e2＝0，

λ

若2k－1≠0，则e1＝e，此时e1∥e2，

2k－12

而0与任何向量平行， ∴λ＝0或e1∥e2.

→

3．已知数轴上两点A、B的坐标分别是－4、－1，则AB与|AB|分别是( ) A．－3,3 B．3,3 C．3，－3 D．－6,6

→

解析：选B.AB＝－1－(－4)＝3，|AB|＝3.

4．若e是a的单位向量，b与e方向相反，且|b|＝3，又|a|＝4，则a＝________b.

4

解析：由题意知b＝－3e，又a＝4e，∴a＝－b.

3

4

答案：－

3

一、选择题 1．下列叙述：

①若向量a∥b，则必存在唯一实数λ使b＝λa； ②若向量a，b不共线且ma＋nb＝0，则m＝n＝0； ③若ma＝na(m，n∈R，a≠0)，则m＝n. 其中正确叙述的个数是( ) A．1 B．2 C．3 D．0

解析：选B.①中必须有a≠0，否则λ不确定，所以①错误，②③正确． 2．已知e1，e2不共线，a＝e1－2e2，b＝2e1＋e2，c＝6e1－2e2，则a＋b与c的关系是( ) A．不共线 B．共线 C．相等 D．无法确定 解析：选B.∵a＋b＝e1－2e2＋2e1＋e2＝3e1－e2， c＝6e1－2e2＝2(3e1－e2)＝2(a＋b)， ∴a＋b与c共线．

→→→

3．(2011年临沂高一检测)已知AB＝a＋5b，BC＝－2a＋8b，CD＝3(a－b)，则( ) A．A、B、D三点共线 B．A、B、C三点共线 C．A、C、D三点共线 D．B、C、D三点共线

→→→

解析：选A.BD＝BC＋CD＝－2a＋8b＋3(a－b)＝a＋5b， →→→又AB＝a＋5b，∴BD＝AB， →→

又AB、BD有公共点B，∴A、B、D三点共线．

4．已知向量e1、e2不共线，a＝ke1＋e2，b＝e1＋ke2，若a与b共线，则k等于( ) A．±1 B．1 C．－1 D．0 解析：选A.∵a∥b，

∴存在唯一的实数λ，使a＝λb， ∴ke1＋e2＝λ(e1＋ke2)， ∴(k－λ)e1＋(1－λk)e2＝0， ∵e1，e2不共线， ??k－λ＝0∴?，∴k＝±1. ?1－λk＝0?

→

5．(2011年西安高一检测)已知△ABC的三个顶点A、B、C及平面内一点P满足：PA＋→→→→→

PB＋PC＝0，若实数λ满足：AB＋AC＝λAP，则λ的值为( )

23A. B. 32C．2 D．3

→→→

解析：选D.∵PA＋PB＋PC＝0， ∴P为△ABC的重心，

→2→

设BC中点为D，∴AP＝AD，

3

→3→∴AD＝AP，

2

3→→→→→

而AB＋AC＝2AD＝2×AP＝3AP，

2

∴λ＝3.

6．已知向量a、b不共线，c＝ka＋b(k∈R)，d＝a－b，如果c∥d，那么( ) A．k＝1且c与d同向 B．k＝1且c与d反向 C．k＝－1且c与d同向 D．k＝－1且c与d反向 解析：选D.∵c∥d，∴c＝λd，∴ka＋b＝λ(a－b)， ??k＝λ∴?，∴k＝λ＝－1，所以k＝－1且c与d反向． ?1＝－λ?

二、填空题

7．已知数轴上A、B两点的坐标分别为x1、x2，且x1＝3，|BA|＝5，则x2＝________. 解析：|BA|＝|x2－x1|＝|x2－3|＝5.∴x2＝8或－2. 答案：8或－2

8．关于向量a，b有

①a＝2e，b＝－2e；②a＝e1－e2，b＝－2e1＋2e2；

21

③a＝4e1－e2，b＝e1－e2；④a＝e1＋e2，b＝2e1－2e2.(其中e1，e2不共线)

510

其中a，b共线的有________(填上所有正确的序号)． 解析：①中a＝－b，∴a∥b； ②中b＝－2a，∴a∥b；

1

e1－e2?＝4b，∴a∥b； ③中a＝4?10??

④中不存在实数λ，使a＝λb，∴a与b不共线．

答案：①②③

→3→→→

9．已知AC＝AB，AC＝λBC，则λ的值为________．

5→3→

解析：∵AC＝AB，

5

∴C为AB的一个5等分点(如图)， |AC|3∴＝， |BC|2

3→3→

∴AC＝－BC，即λ＝－. 223

答案：－

2

三、解答题

→→→

10．设两个非零向量e1，e2不共线，已知AB＝2e1＋ke2，CB＝e1＋3e2，CD＝2e1－e2.问：是否存在实数k，使得A、B、D三点共线，若存在，求出k的值；若不存在，说明理由？

解：假设存在k∈R，使得A、B、D三点共线， →→→→

∵DB＝CB－CD＝(e1＋3e2)－(2e1－e2)＝－e1＋4e2，AB＝2e1＋ke2.

→→

又∵A、B、D三点共线，∴AB＝λDB，

??2＝－λ

∴2e1＋ke2＝λ(－e1＋4e2)，∴?，∴k＝－8，

?k＝4λ?

所以存在k＝－8，使得A、B、D三点共线．

1

11．如图，平行四边形ABCD中，点M在AB的延长线上，且BM＝AB，点N在BC

2

1

上，且BN＝BC.求证：M、N、D三点共线．

3

→→

证明：∵BC綊AD，∴BC＝AD. →1→→1→∵BN＝AD，BM＝AB，

32

→→→1→1→∴MN＝BN－BM＝AD－AB

32

→→→→3→又MD＝AD－AM＝AD－AB

2

1→1→→＝3(AD－AB)＝3MN，

32→→∴MN∥MD. →→

又MN、MD有公共点M，∴M、N、D三点共线．

→→→

12．已知任意两个非零向量a，b，作OA＝a＋b，OB＝a＋2b，OC＝a＋3b.试判断A，B，C三点之间的位置关系，并说明理由．

→→→

解：如图，利用向量求和的平行四边形法则，作出向量OA，OB，OC，从图中可知A，

B，C三点共线，证明如下：

→→→

因为AB＝OB－OA＝(a＋2b)－(a＋b)＝b， →→→

AC＝OC－OA＝(a＋3b)－(a＋b)＝2b.

→→故有AC＝2AB，

→→

所以AC∥AB，又因为有公共点A， 所以A，B，C三点共线．