湖南省中考数学热点专题四 图形的认识

热点专题四 图形的认识

湖南 张倬胜

【考点聚焦】

图形的认识主要包括点、线、面、角，平行线与相交线，三角形，四边形，圆，尺规作图，视图与投影七个部分．基本几何图形的考题多以填空、选择、解答题、实践操作题、拓展探究题等形式出现．这部分内容的考题大多为容易题或中难题，但有的与其他知识点综合在一起出现在较难题中．

1．角：会计算角度；认识度、分、秒，会进行简单的换算；了解角平分线及其性质． 2．平行线与相交线：线段垂直平分线及性质；相交线中“两线四角”及“三线八角”中形成的对顶角、同位角、内错角、同旁内角等角与角之间的关系；平行线的性质及判定；平行线间的距离及平行线、垂线的画法等．

3．三角形：三角形的边角关系及三角形的分类；三角形的角平分线、中线、高线、中位线等重要线段的性质；全等三角形的性质与判定；等腰三角形的性质与判定；等边三角形的性质；直角三角形中的勾股定理及其逆定理等．

4．四边形：对平行四边形、矩形、菱形、正方形、等腰梯形的性质与判定，了解多边形的内角和与外角和公式、正多边形的概念，平面的密铺及其简单设计等．

5．圆：有关概念，如：弧、弦、圆心角、圆周角等及其它们之间的关系；点与圆、直线与圆、圆与圆之间的位置关系，切线的性质及判定；与圆有关的计算，如求弧长、扇形的面积、圆锥的侧面积与全面积等．

6．尺规作图：能完成以下基本作图：作一条线段等于已知线段，作一个角等于已知角，作角的平分线，作线段的垂直平分线，过一点作垂线；能利用基本作图作三角形：已知三边作三角形；已知两边及其夹角作三角形；已知两角及其夹边作三角形；已知底边及底边上的高作等腰三角形；会探索如何过一点、两点和不在同一直线上的三点作圆．了解尺规作图的步骤，对于尺规作图题，会写已知、求作和作法（不要求证明）．

7．视图与投影：会画基本几何体（直棱柱、圆柱、圆锥、球）的三视图（主视图、左视图、俯视图），会判断简单物体的三视图，能根据三视图描述基本几何体或实物原型；了解直棱柱、圆锥的侧面展开图，能根据展开图判断和制作立体模型；了解基本几何体与其三视图、展开图（球除外）之间的关系． 【热点透视】

热点1：平行线的性质及角的计算的考查

例1 （2008株州）如图1，已知AB∥CD，直线MN分别交AB、CD于E、F，

?MFD?50，EG平分∠MEB，那么∠MEG的大小是_________度．

分析：本题根据两直线平行，同位角相等可得?MEB?50，再利用角平分线的定义

迅速求得∠MEG的大小． 解：25．

点评：本题考查了平行线的性质和角平分线及其性质，这种类型的题注重双基，注重通性通法，在试题难度上属容易题，学生解题时能迅速上手． 热点2：平行线的性质与三角形知识相联系的考查

例2 （2008永州）如图2所示，AB∥CD，?E?27，?C?52，则?EAB的度数为（ ）

（Ａ）25 （Ｂ）63 （Ｃ）79 （Ｄ）101

分析：本题延长EA交CD于点F，则将求?EAB的度数转化为求?EFD的度数，利用三角形外角的性质可迅速求解． 解：选（C）．

点评：本题亦可延长BA或连结CA并延长，构造三角形求解，考查了平行线的性质及三角形内角及外角的性质，具有一定的综合性． 热点3：三角形角之间关系的考查

例3 （2008永州）如图3，已知△ABC中，?A?40，剪去?A后成四边形，则?1??2?______．

分析：本题先利用三角形的内角和求出?B??C，再利用四边形的内角和可求得?1??2． 解：220．

点评：本题考查三角形的内角与外角的关系，可以从多个角度思考，既可利用三角形的内角和定理，也可利用四边形的内角和定理来解决此问题．从多个角度着手解题是数学试题的共同特点．

热点4：三角形与其他知识的联系的考查

例4 （2008长沙）已知点E，F在△ABC的边AB所在的直线上，且AE?BF，FH∥EG∥AC，FH，EG分别交边BC所在的直线于点H，G． （1）如图4，如果点E，F在边AB上，那么EG?FH?AC； （2）如图5，如果点E在边AB上，点F在AB的延长线上，那么线段EG，FH，AC的长度关系是_______；

（3）如图6，如果点E在AB的反向延长线上，点F在AB的延长线上，那么线段EG，FH，AC的长度关系是_______．

对（1）（2）（3）三种情况的结论，请任选一个给予证明．

分析：构造全等三角形是解决本题的关键．

解：（2）EG?FH?AC；（3）EG?FH?AC； 证明（2）：如图7，过点E作EP∥BC交AC于P， ∵EG∥AC，

∴四边形EPCG为平行四边形． ∴EG?PC．

∵HF∥EG∥AC，

∴?F??A，?FBH??ABC??AEP． 又∵AE?BF，∴△BHF≌△EPA．

∵HF?AP，∴AC?PC?AP?EG?HF，即EG?FH?AC． 点评：本题考查同学们对三角形全等及平行四边形的有关性质与识别等知识的把握．本题将合情推理与演绎推理有机的结合在一起，通过同学们的观察、类比思考后，提出猜想，进而利用“截长补短”的方法加以论证；而且本题证明时只要求三选一，给同学们提供了广阔的思维空间，这也是近几年，尤其新课程改革后的一种时尚考法． 热点5：多边形的内角和、外角和及平面密铺等基础知识的考查 例5 （2008长沙）正五边形的一个内角的度数是____________． 分析：正五边形的每个内角都相等是解决这个问题的关键． 解：108．

点评：本题考查同学们对n边形的内角和为(n?2)180及正多边形的概念这两个知识点的综合应用，立足基础，注重实效．

例6 （2008岳阳）在美丽的岳阳南湖广场中心地带整修工程中，计划采用同一种正多边形地板砖铺砌地面，在下列形状的地板砖：①正方形；②正五边形；③正六边形；④正八边形中，能够铺满地面的地板砖的种数有（ ）

（Ａ）1种 （Ｂ）2种 （Ｃ）3种 （Ｄ）4种 分析：本题应先求出各正多边形的每个内角的度数，再依据平面密铺的条件作出正确的选择．

解：选（B）．

点评：本题考查了同学们对平面密铺的条件的把握，要求在每个接合点处正好围成360的角，谨记“不重不漏”．

热点6：平行四边形、矩形、菱形、正方形、等腰梯形的性质与判定的考查 例7 （2008长沙）如图8，四边形ABCD中，AB∥CD，要使四边形ABCD为平行四边形，则应添加的条件是________（添加一个条件即可）．

分析：本题可从四边形的边、角两方面来寻找判定该四边形为平行四边形的方法．

解：答案不惟一，如AB?CD或AD∥BC等． 点评：本题是一道开放性的问题，在答案不确定的情况下考查同学们对平行四边形的判定方法的掌握，这是近几年新课改后比较经典的考法．

例8 如图9，菱形ABCD中，AB?4，E为BC的中点，AE?BC，AF?CD于点F，CG∥AE，CG交AF于点H，交AD于点G．

（1）求菱形ABCD的面积； （2）求?CHA的度数．

解：（1）连结AC，BD，相交于点O， ∵AE?BC，且AE平分BC，

∴△ABC和△ADC都是正三角形．∴AB?AC?4． 因为△ABO是直角三角形，∴BD?4． ∴菱形ABCD的面积是8．

（2）∵△ADC是正三角形，AF?CD，∴?DAF?30． 又∵CG∥AE，AE?BC，∴四边形AECG是矩形． ∴?AGH?90．∴?AHC??DAF??AGH?120．

点评：菱形（矩形）面积计算一般通过计算对角线求解．本题综合了菱形性质，等边三角形的判定和菱形面积、角度计算．

热点7：圆的有关概念、点与圆、直线与圆、圆与圆位置关系的考查 例9 （2008常德）如图10，在直角坐标系中，O的半径为1，

则直线y??x?2与O的位置关系是（ ）

（Ａ）相离 （Ｂ）相交

（Ｃ）相切 （Ｄ）以上三种情形都有可能 分析：本题关键是要求出点O到直线的距离． 解：选（C）． 点评：本题主要考查同学们对直线与圆的三种位置关系的判定依据的掌握程度，常利用圆心到直线的距离d与圆的半径r之间的大小关系来判定． 热点8：圆的切线的性质与判定的运用的考查

例10 （2008娄底）已知△ABC的内切圆O，如图11，

若?DEF?54，则?BAC等于（ ） （Ａ）96 （Ｂ）48 （Ｃ）24 （Ｄ）72

分析：本题先利用同圆中同弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半求得

?DOF?108，再利用切线的性质便可求?BAC的度数．

解：选（D）．

点评：本题主要考查了圆的切线的性质及圆中同弧所对的圆周角与圆心角之间的关系． 热点9：与圆有关的计算问题的考查

例11 （2008衡阳）如图12，一块呈三角形的草坪上，一小

孩将绳子一端栓住兔子，另一端套在木桩A处．若?BAC?120，绳子长3米（不包括两个栓处用的绳子），则兔子在草坪上活动的最大面积是（ ）