当前位置：首页 > 江苏省丹阳市2020学年高中数学 第三章 空间向量与立体几何 3.2.3 空间角的计算(1)学案(无答案)苏教版选
3.2.3空间角的计算⑴
【学习目标】
能用向量方法解决线线，线面，面面的夹角的计算问题． 【学习重点】
空间线线，线面，面面的夹角的计算用． 【学习难点】
将几何中相关的量转化为坐标形式．
【学习过程】 一．知识要点
立体几何中角的计算是建立在弄清概念，恰当作图，严格论证的基础上的．空间的角有三种：异面直线所成的角；直线和平面所成的角；二面角．
在学习了空间向量之后，我们可以用一种统一的模式来求以上各角． 1．异面直线所成的角
→→设 l1 与 l2 为异面直线，a1 与 a2 分别为 l1 与 l2的方向向量，设l1 与 l2所成的
→→| a1·a2 |→→角为θ，则有 cos θ = | cos < a1，a2 > | = ．
→→| a1 |·| a2 |2．直线和平面所成的角
→→ 设 a 为直线 l 的方向向量，n 为平面α的法向量，θ为 l 与平面 α 所成的
→→| a·n |→→角，则有cos (90°? θ) = | cos < a，n >| = ，即
→→| a |·| n |
→→| a· n |
sin θ = ．
→→| a |·| n |3．平面与平面所成的角
→→设二面角α ? l ? β 的两个半平面α，β的法向量分别是 n1 ，n2，二面角α ? l →→| n1 · n2 |
? β 的大小为 θ ，则有| cos θ | = ．
→→| n1 |·| n2 |
→→→→由于平面的法向量的选取的不同，有θ = < n1，n2 >，或θ = π? < n1，n2 >．若可以确定二面角是锐角或钝角，则此二面角的大小可以唯一确定．
综上，空间角的问题最终都转化为求直线夹角的问题，这样可以避免一些复杂的作图和证明过程，但在应用时要注意对结果的处理．
二．例题讲解
例1．棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，P为DD1的中点，O1，O2，O3分别是面A1B1C1D1，
面BB1C1C ，面ABCD的中心．求异面直线PO3与O1O2所成角的余弦值． D 1 C 1
O A 1 1 B
1 P
O 2
D C
O 3
A B
1
例2．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，F是BC的中点，点E1在D1C1上，且D1E1= D1C1，试求直
4
线E1F与平面D1AC所成角的正弦值．
1
变题:若将题中的条件“F是BC的中点”改为“CF = CB”呢?
4
A 1 B 1
D1
C 1
D C
B
A
例3．已知E，F分别是正方体ABCD-A1B1C1D1的棱BC和CD的中点，求：
⑴A1D与EF所成角的大小； ⑵A1F与平面B1EB所成角的大小； ⑶二面角C-D1B1-B的大小．
三．课堂练习
A1
D1
C1
B1
D
F
E
C
A B
1→→→→1．设a，b分别是两条异面直线l1，l2 的方向向量，且cos
2
l1，l2所成的角的大小为 ．
2．已知正方体ABCD-A1B1C1D1中，M是AB的中点，则对角线DB1与CM所成的角的余弦值 ． 3．已知平面的一条斜线和它在平面内的射影的夹角为45°，平面内一条直线和这条斜线在平面内的射影的夹角为45°，则斜线和平面内的这条直线所成的角的大小为 ． 四．课堂小结
1．两条异面直线的所成的角等于两条直线的方向向量的夹角(或其补角)．
要注意两条异面直线所成角的范围是锐角或直角，而两条直线的方向向量所成的角的范围是[0，π]，求解过程中要注意结果的处理；
2．直线与平面所成的角等于直线与平面的法向量所成角的余角； 3．二面角的平面角的大小为等于两平面的法向量所成的角(或其补角)．
若以二面角内的一点为起点向两个平面引射线(平面的法向量)，则两法向量所成的角与二面角的平面角互补；若以二面角外的一点为起点向两个平面引射线，则两法向量所成
的角与二面角的平面角相等． 五．课后作业1： 1．已知二面角α?l?β为60°，异面直线a，b分别垂直于平面α ，β，则a，b所成的角的大小是 ． 1
2．在边长为a的正三角形ABC中，AD⊥BC于D，沿AD折成二面角B-AD-C后，BC=a，这
2时二面角B-AD-C的大小为 ． 3．正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是AA1，A1D1的中点，则EF与面A1C1所成的角是 ． 4．已知锐二面角α?l?β的平面角是θ，m是平面α内异于l的一条直线，则m与β所成的角的范围是 ．
5．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，求A1B与A1B1CD平面所成角的大小． 求二面角B-PA-C的大小． 6．在四棱锥V-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧面VAD是正三角形，平面VAD⊥底面ABCD．⑴证明：AB⊥平面VAD； V
⑵求平面VAD与面VDB所成的二面角的大小．
D
A B
C
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