股神林园

无弹性的，并把劳动投入正规化为1。这样，生产函数改写为：Yt?F(Kt)，生产函数满足：

F?0,F???0。

资本变化服从：Kt?1?It?(1??)Kt，折旧率0???1；

Yt?Ct?It。

行为人面临的约束为将各期产出用作消费或投资。显然，增加消费可提高当期的效用水平，但代价是减少投资，减少未来的消费。由于行为人的目标是实现未来各期的贴现效用总和的最大化，他面临的问题是如何确定最优的消费和投资计划。我们可以通过求解在Yt和

Kt?1约束条件下对U的最大化来实现。因此，消费者的最优化问题可表述为一个标准的最

优规划问题：

maxU???tu(Ct)

t?0?s.t.:Yt?F(Kt)?Ct?It,Kt?1?It?(1??)Kt

首先，从约束条件中我们得到：Ct?F(Kt)?Kt?1?(1??)Kt，将其代如入目标函数，问题转化为求下式的最大值：

...?tu[(F(Kt)?Kt?1?(1??)Kt]??t?1u[F(Kt?1?Kt?2?(1??)Kt?1]?...，

对Kt?1求导，得到一阶条件：

u?(Ct)???u?(Ct?1)?[F?(Kt?1)?(1??)]， （2）

也可直接从欧拉方程得到这一结果：

u?(Ct)??[F?(Kt?1)?(1??)]，

u?(Ct?1)括号内的部分表示t?1期资本的实际收益率。 欧拉方程：

跨时期消费的边际效用之比=行为人主观贴现率与资本实际收益率的乘积。

经济含义：乘积大于1，说明投资是有利可图的，因此行为人应减少当期消费，用以增加未来的投资。

并满足横截性条件（TVC）：

lim[?t?iu?(Ct?i)Kt?i?1]?0， （3）

i??（1）如果无限期界经过贴息的边际效用大于0，说明行为人在人生的终点还有提高福

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利水平的可能和激励，他的最优选择必然是把资本完全用于消费，即limKt?i?1?0；

i??（2）如果无限期界经过贴现的效用等于0，即lim?i??t?iu(Ct?i)?0，那么行为人在无限

期界可以拥有一定的资本，因为福利水平以无法进一步提高。

一阶条件和TVC条件构成最优解的充分必要条件。

2、分散经济中的市场均衡：

上述模型中，用典型的行为人代表整个经济，这个行为主体既具有家庭的性质，又具有厂商的性质，因此行为人的最优选择等价于整个经济的选择，即中央计划经济的最优解。

下面考察分散均衡。有两个要素市场： （1）劳动市场，决定工资水平。 （2）资本市场，决定利率水平。 同质的行为人提供劳动和资本，从中获得劳动收入和利息收入，实现贴现效用总和的最大化；同质的厂商雇用劳动和租用资本，实现各期利润的最大化。典型的行为人最优化问题如下：

maxU???tu(Ct)

t?0?s.t.:wt?(rt??)At?Ct?At?1?At，

其中，At?1?At表示t期的储蓄，rt??为资产的实际净收益。

注意与前一模型约束条件的区别。

典型的代表性厂商的最优选择不涉及跨时期选择，其目标函数可表示为：

maxF(Kt,Nt)?(rt??)Kt?wtNt,rt???Fk(Kt,Nt)?rt?FK(Kt,Nt)， wt?FN(Kt,Nt)在完全竞争经济中，经济利润?t?0，即没有利润：

wtNt?F(Kt,Nt)?rtKt，

我们将行为人提供的劳动供给正规化为1，并假设行为人的数量与厂商数量相等，劳动市场出清要求Nt?1。这样，F(Kt,Nt)?F(Kt)。最优条件改写为：

rt?F?(Kt)??wt?F(Kt)?rtKt，

同时，在行为人的数量=厂商数量的条件下，资本市场出清要求At?Kt。

因此，在行为人的偏好和生产技术满足一定假设的情况下，拉姆齐模型中的社会最优解等价于分散经济中的市场均衡解。

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四、对产出、消费和投资波动的解释：一个固定劳动供给的真实周期模型

下面，我们分两部分解释真实经济周期理论。首先，为了得到显示解，需要对生产函数、效用函数及相关参数作出假定，并据此对消费、投资和产出的波动进行解释；另一方面，则是通过数字模拟的方法得到定量结果，这方面的工作可以基得兰德和普雷斯科特为代表。

1、假设效用函数为对数型：生产函数为C-D生产函数：F(Kt)?AtKt?；u(Ct)?lnCt，设折旧率??1，即各期资本完全折旧。根据约束条件和一阶条件，我们得到下来关于消费、投资的差分方程：

AtKt??Ct?Kt?1,1， （4） ?At?1Kt???11??[]CtCt?1

按照人们通常的消费习惯，我们可以先“猜测”消费可能与产出成一定比例，即

Ct??AtKt?，其中?为待定系数。至于“猜测”是否正确，要看与最后的推导结果是否一

致。将Ct??AtKt?代入（4）式第一式，得到：

Kt?1?(1??)AtKt?； （5）

Ct??AtKt?代入（4）式第二式，得到：

Kt?1???AtKt?； （6）

所以有??1???，即?是一个由资本的产出弹性?和主观贴现率?决定的常数。这说明我们的猜测是正确的，即消费是收入的一个比例。很容易证明，Ct??AtKt?，

Kt?1???AtKt?满足TVC条件，因此它们是最优规划的解。

对Kt?1???AtKt?两边取对数，省略不重要的常数项后得到：

kt?1??kt?at， （7）

由Yt?AtKt，两边取对数有：

?yt??kt?at， （8）

利用（7）式，得到：

yt??kt?at??(?kt?1?at?1)?at，及：yt?1??kt?1?at?1，我们得到：

yt??yt?1?at， （9）

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再对Ct??AtKt?取对数，得到：ct?yt?ln?，将（8）式代入，并省略不重要的常数项，最后得到：

ct??ct?1?at， （10）

从式（8）、（9）、（10）可以清楚地看到，在t时刻的一个技术冲击at将会带来产出、消费和投资的一系列序列相关的变动。相关系数?作为资本的产出弹性是一个小于1的值，从而保证了整个系统的波动是稳定的。

我们把（8）、（9）、（10）式合并：

?kt?1??kt?at,?kt??kt?1?at?， （11） ?yt??yt?1?at,?c??c?a,t?1t?t可见，如果生产率at一个白噪声，那么消费、产出和资本都具有一阶自回归的性质。如果生产率变化at也服从一阶自回归过程，那么产出就具有二阶自回归的性质：

at??at?1??t， （12）

其中，??(0,1)；?t为一个白噪声。利用（12）式可把（9）式改写为：

yt?(???)yt?1??yt?1??t， （13）

对消费和资本存量的变化也可以同样处理，从略。

因此，在t时刻的一个技术冲击at将会带来产出、消费和投资的一系列序列相关的变动。 数值模拟：参袁志刚（P121）

2、效用函数为CES型或CRRA型： 设经济中的效用函数和生产函数分别为：

ct1???1u(ct)?,1??， （1） F(Kt)?AtKt?u??(ct)?ct其中风险厌恶系数???，

u?(ct)跨期替代弹性??1???u?(ct)，

??u(ct)?ct跨期替代弹性的严格定义：

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??lim?s?tu?(cs)/u?(ct)d(cs/ct)， （3） ???cs/ctd[u(cs)/u(ct)]当??1时，根据洛必塔法则，CRRA型效用函数退化为对数效用函数：u(ct)?lnct。 引入真实冲击必须面对不确定性。为简化起见，我们仍然假设讨论的经济为一个“鲁宾

逊”经济。

引入真实冲击：真实冲击表现为生产率的冲击。

对Yt?AtKt?而言，{At}为随机变量，反映第t期的生产率。行为人可以观察到过去和当期的生产率，但不知道未来的生产率。

行为人的目标函数可写为：

??ct1?i?1maxEt??,1??i?0?i，

s.t.:AtKt??Ct?Kt?1?(1??)Kt上述最优规划的一阶条件为：

???1Ct????EtCt??1[?At?1Kt?1?(1??)]

同时满足两个边界条件： 初始条件：Kt?0；

TVC条件：limEt?Ct?iKt?i?1?0，

i??i??一般情况下，上述非线性差分方程没有显示的解析解。不过，当假设??1和??1资本完全折旧），差分方程组可写成：

AtKt??Ct?Kt?1C??t??Et[C(?At?1Kt?1)]??t?1??1

最后结果，与对数型效用假设的情况相同，这里从略。

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