清华大学数学实验期末试卷

计算方法（数学实验）试题（第1组） 2000.6.22

班级 姓名 学号 说明：（1）1，2题必做，答案直接填在试题纸上；

（2）3，4题任选1题，将简要解题过程和结果写在试题纸上； （3）解题程序以网络作业形式提交，文件名用英文字母。

A工人5天的生产能力数据和B工人4天的生产能力数据如下：A 87 85 80 86 80；

B 87 90 87 84。要检验：A的生产能力不低于85，你作的零假设是 ，用的Matlab命令是 ，检验结果是 。要检验：A工人和B工人的生产能力相同，你作的零假设是 ，用的Matlab命令是 ，检验结果是 。作以上检验的前提是 。

2．用电压V=14伏的电池给电容器充电，电容器上t时刻的电压满足：

tv(t)?V?(V?V0)exp(?)?，

其中V0是电容器的初始电压，τ是充电常数。试用下列数据确定V0和τ。 t（秒） v(t) 0.3 5.6873 0.5 6.1434 1.0 7.1633 2.0 8.8626 4.0 11.0328 7.0 12.6962 你用的方法是 ，结果是V0= ，τ= 。

3. 小型火箭初始质量为900千克，其中包括600千克燃料。火箭竖直向上发射时燃料以15千克/秒的速率燃烧掉，由此产生30000牛顿的恒定推力。当燃料用尽时引擎关闭。设火箭上升的整个过程中，空气阻力与速度平方成正比，比例系数为0.4（千克/米）。重力加速度取9.8米/秒2. 建立火箭升空过程的数学模型（微分方程）；

求引擎关闭瞬间火箭的高度、速度、加速度，及火箭到达最高点的时间和高度。

4. 种群的数量（为方便起见以下指雌性）因繁殖而增加，因自然死亡和人工捕获而减少。记xk(t)为第t年初k岁（指满k-1岁，未满k岁，下同）的种群数量，bk为k岁种群的繁殖率（1年内每个个体繁殖的数量），dk为k岁种群的死亡率（1年内死亡数量占总量的比例），hk为k岁种群的捕获量（1年内的捕获量）。今设某种群最高年龄为5岁（不妨认为在年初将5岁个体全部捕获），b1=b2=b5=0，b3=2，b4=4，d1=d2=0.3，d3=d4=0.2，h1=400，h2=200，h3=150，h4=100。 建立xk(t+1)与xk(t)的关系（k=1,2,?5, t=0,1,?），如x2(t?1)?x1(t)?d1x1(t)?h1。为简单起见，繁殖量都按年初的种群数量xk(t)计算，不考虑死亡率。

Tx(t)?(x(t),?x(t))用向量表示t年初的种群数量，用bk和dk定义适当的矩阵15L，用hk定义适当的向量h，将上述关系表成x(t?1)?Lx(t)?h的形式。 设t=0种群各年龄的数量均为1000，求t=1种群各年龄的数量。又问设定的捕获

量能持续几年。

种群各年龄的数量等于多少，种群数量x(t)才能不随时间t改变。

记D的结果为向量x*, 给x* 以小的扰动作为x(0)，观察随着t的增加x(t)是否趋于x*, 分析这个现象的原因。

计算方法（数学实验）试题（第1组） 2000.6.22 答案

A工人5天的生产能力数据和B工人4天的生产能力数据如下：A 87 85 80 86 80 (84 85 80 82 80)；B 87 90 87 84 (85 90 82 84)。要检验：A的生产能力不低于85，你作的零假设是H0:μ0≥85，用的Matlab命令是ttest(x,85,0.05，-1)，检验结果是接受（拒绝）H0 。要检验：A工人和B工人的生产能力相同，你作的零假设是H0：μ1=μ2，用的Matlab命令是ttest2(x,y)，检验结果是接受H0。作以上检验的前提是数据来自正态总体，相互独立。

2．用电压V=14伏的电池给电容器充电，电容器上t时刻的电压满足：

tv(t)?V?(V?V0)exp(?)?，

其中V0是电容器的初始电压，τ是充电常数。试用下列数据确定V0和τ。 t（秒） v(t) 0.3 5.6873 0.5 6.1434 1.0 7.1633 2.0 8.8626 4.0 11.0328 7.0 12.6962 你用的方法是线性最小二乘法，结果是V0=5.0001，τ= 3.6165。 t（秒） v(t) 0.2 2.5799 1.0 4.0570 2.5 5.9099 4.5 7.1921 7.0 8.2035 8.0 9.3203 9.5 9.6971 V=10 伏 结果是V0=0.8550，τ= 3.1944。 3．

min(c11,c12,?,cmn)(x11,x12,?,xmn)Ts.t.?jxij?am,i?1,?,mxij?bn,j?1,?,n?i

xij?0,i?1,?,m,j?1,?,n

?10,5,6,7??0,0,0,25?????(c)?8,2,7,6(x)?0,15,0,10(a1,?,am)?(25,25,50)????ijij?9,3,4,8??15,5,30,0?(b1,?,bn)?(15,20,30,35) ??，答案：??，535元

0,0,30??0,?10,5,6,7?????(c)?8,2,7,6(x)?6.25,18.75,0,5(a1,?,am)?(30,30,40)????ijij?9,3,4,8??8.75,1.25,30,0?(b,?,b)?(15,20,30,35)????，n 1，答案： 530元

4. 小型火箭初始质量为900（1200）千克，其中包括600（900）千克燃料。 模型分两段：

2????(0)?0 mx??kx?T?mg,0?t?t1,x(0)?x

m=900-15t （m=1200-15t）, t1 =600/15=40秒 (t1=900/15=60秒)为引擎关闭时刻。

???kx?2?mg,t1?t,x(t1),x?(t1)由1的终值给出，m=300 x 2）． m?引擎关闭瞬间火箭的高度8323米（13687.9米），速度259米/秒（271.34米/秒），

加速度0.7709米/秒2（0.8254米/秒2 关闭前）， –99.2291米/秒2（–132.5079米/秒2 关闭后）；

到达最高点的时间51秒（69.89秒），高度9192米（14469.8米）。

x1(t?1)?b1x1(t)???b5x5(t)x2(t?1)?x1(t)?d1x1(t)?h1??5．A. x5(t?1)?x4(t)?d4x4(t)?h4

?b1b2?b5??0??s0?0??h?1?,h??1?L????????????0?s0s?1?d?h4?，则 x(t?1)?Lx(t)?h 4??k，B. 记k

b1=b2=b5=0，b3=2，b4=4，d1=d2=0.3，d3=d4=0.2，h1=400，h2=200，h3=150，h4=100。

T T

C. x(1)= (6000, 300, 500, 650，700)x(2)= (3600, 3800, 10, 250, 420) x(3)=(1020, 2120, 2460, -142, 100)T. 有负值，所以只能持续2年. x*=(2000, 1000, 500, 250, 100)T

x(t)不趋于x*，因为L的特征根是 0 1.2982 -0.1953 + 1.1370i -0.1953 - 1.1370i

-0.9076 谱半径大于1。 ---eig

b1=b2=b5=0，b3=1，b4=4，d1=d2=d3=d4=0.2，h1=200，h2=300，h3=150，h4=50。 C. x(1)= (5500, 680, 580, 730, 830)T x(2)= (3500, 4200, 244, 314, 534)T x (3)=(1500 2600 3060 45.2 201.2)T

x(4)=(3240.8, 1000, 1780, 2298, -13.8)T. 有负值，所以只能持续3年. x*=(1500, 1000, 500, 250, 150)T

E. x(t)不趋于x*，因为L的特征根是 0 1.3029 -0.1118 + 1.2016i -0.1118 - 1.2016i -1.0793 谱半径大于1。

计算方法（数学实验）试题（第2组） 2000.6.22

班级 姓名 学号 说明：（1）1，2题必做，答案直接填在试题纸上；

（2）3，4题任选1题，将简要解题过程和结果写在试题纸上； （3）解题程序以网络作业形式提交，文件名用英文字母。 1.

设

y??(x)?y(x)sinx?0,y(0)?1,y?(0)?0,用数值解法算出

y(1)= ,你用的方法是 ，调用的 Matlab命令是 ，算法精度为 。

22． 设总体X~N(?,?)，?未知，现用一容量n=25的样本x对μ作区间估2计。若已算出样本均值x?16.4，样本方差s?5.4，作估计时你用的随机变量

是 ，这个随机变量服从的分布是 ，在显著性水平0.05下μ的的置信区间为 . 若已知样本x?(x1,?xn)，对μ作区间估计，调用的 Matlab命令是 。

小型火箭初始质量为1200千克，其中包括900千克燃料。火箭竖直向上发射时燃料以15千克/秒的速率燃烧掉，由此产生40000牛顿的恒定推力。当燃料用尽时引擎关闭。设火箭上升的整个过程中，空气阻力与速度平方成正比，比例系数记作k。火箭升空过程的数学模型为

???kx?2?T?mg,0?t?t1,x(0)?x?(0)? m?x其中x(t)为火箭在时刻t的高度，m=1200-15t为火箭在时刻t的质量，T（=30000牛顿）为推力，g (=9.8米/秒2)为重力加速度, t1 (=900/15=60秒)为引擎关闭时刻。 今测得一组数据如下（t~时间（秒），x ~高度（米），v~速度（米/秒））： t 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 x 107127148170191214236260283307331