统计学期末复习材料

对现象过去变动规律的了解，对事物的未来发展趋势作出预计和推测；三是便于从原来数列中剔除趋势成份，更好的分解、研究其他成份。

需要强调的是，对一个动态数列进行趋势分析，所选定的期间，应当是越长越好。因为时间越长，越能反映出现象发展的基本规律，偶然性因素的影响便于互相抵消。同时，还应特别注意前后数据的可比性，对个别不正常的数据，可视具体情况删除或调整。 （二）测定长期趋势的基本方法

1、间隔扩大法：适用于时期、时点数列，把原有的时间数列中，各个时期资料加以合并，扩大推断计算所包含的时期，得出较长时距新的时间数列，用以消除由于时距较短，受偶然因素引起的波动，使现象发展、变化的趋势明显的表现出来。

2、移动平均法：所谓移动平均，是选择一定的平均项数，采用逐项递移的方法对原数列计算一系列移动平均数，这些平均数消除或削弱了原数列中的不规则变化和其他成份，呈现出现象在较长时间的基本发展趋势。

例子：说明平均项数越大，不规则变动被削弱的程度越大（统计学上也称为平滑或修匀）；当进行四项移动平均时，其平均数的位置放在四个时期的中间时期，为了使平均数的位置对准某一时期而不是两个时期之间，故应再进行一次两两平均的移正平均。一般来说通过四项的移正平均，可以消除季节变动和很大程度上的不规则变动，可视为数列的趋势值。而由于周期长度完全相同的循环波动很少见，所以通过移动平均，就只能消除循环波动的一部分，而不可能完全消除。

通过以上的分析，我们可以看出移动平均法具有如下特点：

（1）移动平均对数列具有平滑修匀的作用，平均项数（N）越大，对数列的平滑修匀作用越强。

（2）平均项数N为奇数，只需一次移动平均，其平均值即对准某一时期；而N为偶数时，尚需再进行一次移正平均，其平均值才能对准某一时期。

（3）若数列中包含周期变动，平均项数N必须和周期长度相等，才能消除数列中的周期波动，揭示现象的长期趋势。

（4）移动平均后，其平均数数列项数较原来数列项数要少。N为奇数时，新数列首尾各少（N－1）/2项，N为偶数时，首尾各少N/2项。

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（5）分解趋势的目的之一，就是在于将趋势线延长至未来，以便对未来时期进行外推预测，但移动平均值本身无此功能。 3、最小平方法（趋势方程拟合法）

这是利用数学中的某一种曲线形式对原数列中的趋势进行拟合，以消除其他成份，揭示数列长期趋势的一种方法。由于数学方程式是一种函数关系，由该方程式计算出来的趋势值消除了不规则成份，特别是适用于只包含趋势成份和不规则成份的数列。又由于趋势方程具有延伸外推的功能，便于对未来时期作出预测，因而，趋势方程拟合法在长期趋势的测定中，具有重要的作用。

到底选择什么样的曲线，实际操作中有几点做法：定性分析、绘制散点图（最常用的也是比较适用的）、根据数列的数据特征加以判断、分段拟合。

根据最小平方法的原理，这条趋势线必须满足最基本的要求，即 原数列与趋势线的离差平方和最小： 原数列与趋势线的离差之和为0： （1）直线方程 y＝a＋bt

如果现象的发展，其逐期增长量大致相等的话，我们可以考虑直线方程。 公式中a、b为未知数，

一般我们通过偏导数的方法来求，

为了计算方便，我们一般在计算的时候都采用假设t，这样可以使计算公式简化为：

注意：在使用这种方法的时候要注意t的取值，特别是要进行预测的时候。 （2）抛物线方程

如果现象的发展，其逐期增长量的增长量大体相同的话，这时就可考虑曲线趋势——抛物线方程。Y＝a＋bt＋ct （3）指数曲线方程

如果现象的发展，其环比发展速度或环比增长速度大体相同的话，就考虑指数曲线方程：Y＝abt

其中，a表示现象的基期初始水平；b表示现象的平均发展速度。 b<1 曲线随着时间的推移按一定比例递减

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b>1 曲线随着时间的推移按一定比例递增。 估计参数a、b的标准方程为：

二、季节变动的测定与预测

现实生活中，季节变动是一种极为普遍的现象，是各种周期变动中最重要的一种。对季节变动进行研究，其目的和意义与进行长期趋势的测定是相同的。

一般我们要掌握长时间（含三个以上周期，季度资料不得少于12个季度，月度资料不得少于36个月），周期短（季度、月度资料而不是以年为单位的资料）的资料才能进行季节变动的分析。 一、按月平均法（原资料平均法）

这是测定季节变动最简单的一种方法，适用于包含水平趋势、季节变动和不规则变动的数列，即Y＝a×S×I。它不通过剔除趋势等整理过程，而直接平均求其季节成分或季节比率。其步骤为：

1、求各年同期（月或季度）的平均数Yi（i＝1——L，L＝1，2，??12）。这一步骤的目的是为了消除体现在各年同一月份（季度）数据上的不规则变动，相当于

a×S×I/I＝a×S

2、求全部数据的总平均数Y，并以Y为a。这一步骤的目的是为了找出数列中的水平趋势值a。

3、以Yi除以Y，得出季节比率Si，并注意小数保留位数，使得 ＝L(400％或1200％)。如果不等的话，则需要调整：1200％或400％/实际比率和＝调整比率，再用调整比率×各月（季度）的季节比率得到调整后的季节比率。这一步骤相当于a×S/a＝S，可见季节比率其实质是相对于趋势值的一种变化程度，也即由于季节变动所引起的趋势值增加或减少的一种相对程度。这种相对程度揭示了季节变动的一般规律。

季节比率揭示出生产或经营的“淡季” “旺季”。当没有季节影响的时候，季节比率为1（或100％），其值高于1（或100％）为旺季，低于1（或100％）为淡季；淡、旺幅度视数值大小而定，其值越远离1，季节影响越大，反之越小。

在这种状态下，对现象的未来发展作出预测，实际上是通过一个水平趋势值

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乘以其相应的月（季）的季节比率即可。 二、移动平均趋势剔除法

如果数列中包含有明显的上升（下降）趋势或循环变动，则按按月平均法既不能真实揭示数列的趋势变化，又因受趋势（循环）的影响使季节比率不准确。对于Y＝T×S×I的数列或Y＝T×S×C×I的数列，要测定其中的季节变动，均应采用趋势剔除法，首先从数列中消除趋势或趋势—循环成份，最后再通过平均的方法消除不规则成份，从而分解出季节成份。 1、除法剔除趋势值求季节比率

（1）求出原数列中的趋势值或趋势—循环值。

对于Y＝T×S×C×I的数列，如果目的不在于分解循环而是分解季节成份，则应采用移动平均法求出趋势—循环值。因为，以趋势方程求出趋势值，既然是一种单一的函数形式，在消除不规则变动的同时，也消除了循环变动。以原数列与之相比，相当于T×S×C×I/T＝S×C×I，其剩余值中尚含有循环成份需要想办法消除，若不消除，计算结果就必然受循环成份的影响而不十分准确。但若采用移动平均法，其平均项数和季节周期长度一致的移动平均数，可以消除季节变动和不规则变动，但不能消除循环变动。也就是说，移动平均数中包含了两个成份：T×C，如此，以原数列除以移动平均数，相当于T×S×C×I/T×C＝S×I，其剩余值中只包含了季节成份和不规则成份。

（2）以原数列各项数值分别除以其对应的趋势值，以剔除数列中的趋势或趋势—循环成份，也即相当于T×S×C×I/T×C＝S×I

（3）将剔除趋势或趋势—循环值的数据（S×I）求各年同期（季或月）平均数，以消除不规则变动（相当于S×I/I＝S），并检查这些平均数是否满足其和为L（季节周期长度）的要求。若满足，这些平均数就是所要求的季节比率Si；若不满足，应对这些平均数进行调整。

但是通过移动平均法求出的趋势值无预测未来的作用，因此，分解出季节比率后，要预测未来的发展情况，仍然要通过趋势方程法求。 2、减法剔除趋势值求季节变差

它和除法不同的地方在于第二步，是用原数列减去同一时期的趋势值。第三步在检查这些平均数和是否满足等于0，若满足，这些平均数就是所要求的季节

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