大学物理1单元测试 力学部分参考答案

一. 质点P在水平面内沿一半径为R=1m的圆轨道转动，转动的角速度ω与时间t的函数关系为ω=kt2，已知t=2s时，质点P的速率为16m/s，试求t=1s时，质点P加速度的大小。

解：质点的速率v=Rω=kt2 t=2s，v=16，因此k=4

t=1s，at=ω2R=16，an=Rdω/dt=8 P点加速度的大小为at?an?85

二. 如图所示，一质点m 旁边放一长度为L 、质量为M 的杆，杆离质点近端距离为l 。求该细杆M所受万有引力的大小。 dx x 解： x m L M 在杆上选取积分元dx，建立数轴，定位积分元。如图所示。 则积分元对质点m的引力为

df?GmdMr2 其中dM??dxr?l?L?x??M/L

因此F??dx??L?dx0Gm(l?L?x)2?GmMl(l?L)

上式结果是杆对质点的万有引力。

根据牛顿第三定律，细杆所受到质点的万有引力为F?GmMl(l?L)，方向为x轴负方向。

三. 质量为m的人站在质量为M，长为L的静止小船的右端，小船的左端靠在岸边。当他向左走到船的左端时，船左端离岸多远？ 解：

选人和船组成的系统，其水平方向动量守恒 mv?MV?0上式两边同乘dt，并积分

m?t0vdt?M?t0Vdt?0用 S 和s 表示船和人相对于岸移动的距离，则 S??t0Vdts??t0vdt?ms?MS

s?S?LS?mM?mLs?MM?mL

四. 质量为10kg的质点，在外力作用下，在 x, y 平面上作曲线运动，该质点速度为

v?4t2i?16j求在质点从 y = 16 m 到 y = 32 m 的过程中，外力做的功。

F?mdv?80t iA??F?dr??80t i?(dxi?dyj) dt??F?(dxi?dyj)

??80t dxA??320t3 dtO

3A??320tdt?1200J

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五 如图所示，一杆长l?100cm，可绕通过其上端的水平光滑固定轴O在

O竖直平面内转动，相对于O轴的转动惯量J?20kg?m2。原来杆静止并自

l然下垂。若在杆的下端水平射入质量m?0.01kg、速率v?400m?s?1的子弹并嵌入杆内，计算杆和子弹一起运动时的角速度的大小。

解：

?vm子弹打入杆时，将杆与子弹视为一刚体，水平飞来子弹与刚体视为一系统．由角动量守恒得：

mvl?(ml2?J)?

??mvl0.01?400?1??0.2(rad/s)

ml2?J0.01?12?20

五一半径为R，质量为m的均匀圆盘平放在粗糙的水平面上，绕通过原判中心垂直于地面的竖直Z轴转动。求对Z轴的摩擦力矩（设摩擦系数为?） Z

解：选取半径为ｒ，宽度为ｄｒ的圆环为积分元，因为在圆周上摩擦力矩方向相同，所以可以以圆环为力矩微分元，其大小为

dM?r?dF?r?dmg

其中： m2mrdrdm??2πr?dr? πR2R2

2m?gr2dr

dM?R2

M??dM??r0

2?mgr2dr2??mgRR23