概率论与数理统计答案 - 北邮版 - （第一章）

概率论与数理统计习题及答案

习题 一

1.写出下列随机试验的样本空间及下列事件包含的样本点. （1） 掷一颗骰子，出现奇数点. （2） 掷二颗骰子，

A=“出现点数之和为奇数，且恰好其中有一个1点.” B=“出现点数之和为偶数，但没有一颗骰子出现1点.” （3）将一枚硬币抛两次， A=“第一次出现正面.” B=“至少有一次出现正面.” C=“两次出现同一面.” 【解】（）1???12，，3，4，5，6?，A??13，，；5?

(2)???(i,j)|i,j?1,2,,6?,A??(1，2),(1，4),(1，6),(2,1),(4,1),(6,1)?,B??(2，2),(2，4),(2，6),(3,3),(3,5),(4,2),(4,4),(4,6),(5,3),(5,5),(6,2),(6,4),(6,6)?;(3)???(正,反),(正,正),(反,正),(反,反)?,A??(正,正),(正,反)?,B??(正,正),(正,反),(反,正)?,C??(正,正),(反,反)?,

2.设A，B，C为三个事件，试用A，B，C（1） A发生，B，C都不发生；

（2） A与B发生，C （3） A，B，C都发生； （4） A，B，C至 （5） A，B，C都不发生； （6） A，B，C

（7） A，B，C至多有2个发生； （8） A，B，C至少有2个发生. 【解】（1） ABC （2） ABC （3） ABC

（4） A∪B∪C=ABC∪ABC∪ABC∪ABC∪ABC∪ABC∪ABC=ABC (5) ABC=ABC (6) ABC

(7) ABC∪ABC∪ABC∪ABC∪ABC∪ABC∪ABC=ABC=A∪B∪C (8) AB∪BC∪CA=ABC∪ABC∪ABC∪ABC

3.指出下列等式命题是否成立，并说明理由: (1) A∪B=(AB)∪B； (2) AB=A∪B； (3) AB∩C=ABC；

(4) (AB)( AB)= ?；

(5) 若A?B，则A=AB；

(6) 若AB=?，且C?A，则BC=?； (7) 若A?B，则B?A；

(8) 若B?A,则A∪B=A.

【解】(1)不成立.特例：若Α∩B=φ，则ΑB∪B=B.

所以，事件Α发生，事件B必不发生，即Α∪B发生，ΑB∪B不发生. 故不成立.

(2)不成立.若事件Α发生，则A不发生，Α∪B发生， 所以AB不发生，从而不成立. (3)不成立.AB，AB画文氏图如下:

所以,若Α-B发生,则AB发生, A故不成立.

B不发生,

(4)成立.因为ΑB与AB为互斥事件.

(5)成立.若事件Α发生,则事件B发生,所以ΑB发生. 若事件ΑB发生,则事件Α发生,事件B发生. 故成立.

(6)成立.若事件C发生,则事件Α发生,所以事件B不发生, 故BC=φ.

(7)不成立.画文氏图,可知B?A.

(8)成立.若事件Α发生,由A?(AB),则事件Α∪B发生.

若事件Α∪B发生,则事件Α,事件B发生. 若事件Α发生,则成立.

若事件B发生,由B?A,则事件Α发生.

4.设A，B为随机事件，且P（A）=0.7,P(A?B)=0.3，求P（AB）. 【解】 P（AB）=1?P（AB）=1?[P(A)?P(A?B)]

=1?[0.7?0.3]=0.6

5.设A，B是两事件，且P（A）=0.6,P(B)=0.7, （1） 在什么条件下P（AB （2） 在什么条件下P（AB 【解】（1） 当AB=A时，P（AB）取到最大值为0.6.

（2） 当A∪B=Ω时，P（AB）取到最小值为0.3.

6.设A，B，C为三事件，且P（A）=P（B）=1/4，P（C）=1/3且P（AB）=P（BC）=0，

P（AC）=1/12，求A，B，C至少有一事件发生的概率.

【解】 P（A∪B∪C）=P(A)+P(B)+P(C)?P(AB)?P(BC)?P(AC)+P(ABC)

=

7.

11113++?= 44312452张扑克牌中任意取出13张，问有5张黑桃，3张红心，3张方块，2张梅花的概率是多少？

533213【解】 p=C13C13C13C13/C52 8.

（1） 求五个人的生日都在星期日的概率； （2） 求五个人的生日都不在星期日的概率； （3） 求五个人的生日不都在星期日的概率.

【解】（1） 设A1={五个人的生日都在星期日}，基本事件总数为75，有利事件仅1个，故 P（A1）=

115

=（）（亦可用独立性求解，下同） 757（2） 设A2={五个人生日都不在星期日}，有利事件数为65，故

6565

P（A2）=5=()

77(3) 设A3={五个人的生日不都在星期日}

P（A3）=1?P(A1)=1?(

15

)7

9. 从一批由45件正品，5件次品组成的产品中任取3件，求其中恰有一件次品的概率.

3【解】与次序无关,是组合问题.从50个产品中取3个,有C50种取法.因只有一件次品,所以从2145个正品中取2个,共C45种取法;从5个次品中取1个,共C5种取法,由乘法原理,恰有一件次

21C45C5P?3.

C50品的取法为CC24515种,所以所求概率为

10.一批产品共N件，其中M件正品.从中随机地取出n件（n

n?mn【解】（1） P（A）=CmMCN?M/CN

n(2) 由于是无放回逐件取出，可用排列法计算.样本点总数有PN种，n次抽取中有m

次为正品的组合数为Cmn种.对于固定的一种正品与次品的抽取次序，从M件正

mn?m品中取m件的排列数有PM种，从N?M件次品中取n?m件的排列数为PN?M种，

故

mn?mCmPPP（A）=nMnN?M

PN由于无放回逐渐抽取也可以看成一次取出，故上述概率也可写成

n?mCmMCN?MP（A）=

CnN可以看出，用第二种方法简便得多.

（3） 由于是有放回的抽取，每次都有N种取法，故所有可能的取法总数为Nn种，n

次抽取中有m次为正品的组合数为Cm对于固定的一种正、次品的抽取次序，n种，