培养高中学生数学探究能力的一点尝试

培养高中学生数学探究能力的一点尝试

（周建华 云南勐腊县勐仑中学 666303 联系：13578123726）

《普通高中数学课程标准（实验）》指出，学生的学习活动不应只限于接受、记忆、模仿和练习，高中数学课程还应倡导自主探索、动手实践、合作交流、阅读自学等学习数学的方式. 高中数学应设立“数学探究”“数学建模”等学习活动，为学生形成积极主动的、多样的学习方式进一步创造有利的条件，以激发学生的数学学习兴趣，鼓励学生在学习过程中，养成独立思考，积极探索的学习习惯. 通过不同形式的自主学习、探究活动，让学生体验数学发现和创造的历程，培养高中学生的创新意识. 因此，笔者在教学实践中注重学生探究能力的培养，做了一些粗浅的尝试，取得了良好的效果。

一、一题多解，探究解法，激发兴趣 在高三第二轮复习中，复习不等式专题时，笔者选用了2011年全国高考重庆卷第7题作为例题.

,>?0a,?b，则题目 已知a>0b14?的最小值是（ ） ab79（A） （B）4 (C) (D) 5

22y?学生一看到题目，首先想到的是利用基本不等式，但很多学生算到中途就受阻了，原因是，不能正确运用基本不等式的条件“一正”、“二等”、“三定”. 在笔者的提示下，学生们得到了第一种解法.

解法1 利用基本不等式 解 由a?b?2可得

y?1422?2a?b2a?2b?????ab2ab2ab 5b2a5???2?22ab2b2a?2ab9. ?2 ??b2a24?? 当且仅当?2ab，即a?,b?33?a?b?2?时，取等号.

所以y?149?的最小值是，选C. ab2笔者告诉学生，这道题有多种解法，还可以从柯西不等式、一元二次方程的判别式、三角代换、导数等方面入手. 分成四个小组，分别从这四个方面展开探究，并各组选出代

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表上黑板板书结果. 经过一番激烈讨论、分析、总结，学生们探究出了下面四种解法.

解法2 利用柯西不等式

a?2sin2?,b?2cos2?，则

y?1414??? ab2sin2?2cos2?

141?12?解 y????()2?()2??2

ab2?ab?

1?sin2??cos2?4sin2??4cos2????2?sin2?cos2?1?cos2?4sin2?? ??5?22?sin?cos2??? ??? ??1?122()?(2?b?a2??)a???(?22?)2 b(??)1?cos?2sin??9??5?2????. 2?sin?cos??21?12?9 ???a??b??.

2?ab?2解法3 利用一元二次方程的判别式 解 由a?b?2可得

y?1414???， aba2?a解法5 利用导数 解 由a?b?2可得

y?14142?3a????aba2?aa(2?a)(0

整理，得

ya2?(3?2y)a?2?0. 显然，y>0.

关于a的一元二次方程

3a2?4a?4(00，函数

314y??单调递增.

a2?a214所以，当a?时，函数y??取

3a2?a149得最小值，最小值为ymin??? .

2222?33当0

??(3?2y)2?4y?2?0， 解得y?y??91，或y??. 22114不合题意，舍去，所以y??2ab9的最小值是

2当全班学生看到黑板上这四道“风景”时，兴趣陡增，感觉数学并不枯燥，数学确实好玩. 五种解法，切入点不同，探究路径

解法4 利用三角代换 解 由a?b?2可设

各异，涵盖知识宽，可谓殊途同归，精彩纷

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呈.

二、猜想类比，探究结论，揭示本质

x2y2（a＞b＞0），三个点换成n个点，?2?12ab你们去探究探究结论又如何？”

数学教学不仅仅是教学生解题，还要教

第二天，这四位学生兴致勃勃告诉我，

学生题后反思，联想猜想，类比探究，求同

他们得到了结论，并给出了证明.

存异，让学生在探究问题中学会思维，不断地拓宽思维. 切不可教师一教了之，学生一做完之.

下面是笔者引导学生探究一例. 四位学生捧着2007年全国高考数学重庆试卷来向我请教第22题：

我仔细检查了他们的证明，结论确实成

如图，中心在原点O的椭圆的右焦点为

立. 我感到由衷的高兴，没想到一句不经意

F(3,0)，右准线l的方程为：x?12.

x2y2结论1 F是椭圆2?2?1（a＞b＞

ab0）的右焦点，P1，P2，?，Pn是椭圆上n个不同的点，且满足?P1FP2??P2FP3???

?PnFP1，则?i?1n1na?2. FPib的话，竟引起了学生如此强烈的兴趣.

（Ⅰ）求椭圆的方程； （Ⅱ）在椭圆上任 P2取三个不同的点

ylP1我乘兴将问题再次引申：“你们再探究探

x究，能否把你们得到的结论推广到双曲线、抛物线上去？”

令我没想到的是，经过他们的合作探究，

oFP3P1、P2、P3，

使?P1FP2??P2FP3??P3FP1，证明

他们成功地把结论1类比推广到了双曲线、

111为定值，并求此定值. ??FPFP2FP13这四位学生解答第（Ⅰ）问没有困难，问题是第（Ⅱ）问. 我为他们详细地分析、

抛物线上，得到了下面两个优美易记的结论.

x2y2结论2 F是双曲线2?2?1（a＞0，

abb＞0）的右焦点，P1，P2，?，Pn是双曲线

讲解了第（Ⅱ）问后，不经意地说了一句“题

右支上n个不同的点，且满足?P1FP2?

x2y2??1换成标准方程中椭圆方程

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?P2FP3????PnFP1，则?i?1n1na?2. FPib的切线方程为xx0?yy0?r2.

笔者讲解完本问题并没有就此为止，而

结论3 F是抛物线x2?2py（p＞0）

是改变条件，引导学生进一步对问题展开探

的焦点，P1，P2，?，Pn是抛物线上n个不

究.

同的点，且满足?P1FP2??P2FP3???

学生首先想到的是改变点M的位置，条

?PnFP1，则?i?1n1n?. FPip件“点M(x0,y0)在圆C x2?y2?r2上”改为“点M(x0,y0)在圆C x2?y2?r2外”，学生经过一番讨论、探究得到：直线xx0?yy0?r2是过点M的两条切线的切点的连线.

接着，学生又把条件改为“点M(x0,y0)在圆C x2?y2?r2内”，虽然经过较长时间探究未果，但学生的探究欲望未减. 思维转向另一个方向. 把条件“圆C x2?y2?r2上”改为“ 圆C (x?a)2?(y?b)2?r2上”，并探究得到：经过圆(x?a)2?(y?b)2?r2上一点

M(x0,y0)的切线方程为

这四位学生对这道高考题的练习，进行猜想、类比、联想，展开探究，不仅使问题得到了解决，还探究出一系列的有价值的结论，他们的成就感得到了极大满足，同时也激发了他们学习数学的热情，拓宽他们的数学思维. 其中一位学生发出了出自内心感慨“没想到数学也这么好玩！”. 他们把整个问题探究过程当做了玩的过程，这样的探究可能影响一个学生的一生，帮助他们树立热爱数学，献身数学的理想.

三、举一反三，探究条件，发散思维 当原问题解决后，在保持问题的结构不变的情况下，对条件进行适当的变化，在新的条件下对问题展开探究，不仅能发散学生思维，还能激发学生探究欲望.

问题 已知点M(x0,y0)在圆C

(x0?a)(x?a)?(y0?b)(y?b)?r2.

虽然学生带着遗憾——对“点M(x0,y0)在圆C x2?y2?r2内”未得到探究结论下课了，但笔者鼓励学生不要泄气，课后继续探究. 五天后，几个数学成绩较好的学生终于得到了结果. 笔者对他们的合作、钻研精神给予了高度的肯定，他们的脸上洋溢着喜悦、

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x2?y2?r2上，求证：过点M(x0,y0)的圆C

兴奋、成功之情.

在这个探究案例中，学生的思维从圆上发散到圆外、圆内，再到改变圆的方程，举一反三；探究过程中有即时的成功，有暂时的失败，从课堂延伸到了课外，学生高涨的探究热情贯穿于整个过程.

培养学生数学探究能力要注意的几点： 1. 教师要钻研教材和多阅读数学课外书籍，从教材和课外材料中挖掘探究空间尽可能大的问题.

2. 把握探究的度. 从时间上说，不是每节课都要探究，每节课都探究既不现实，也容易使学生产生“探究疲劳”；从难度上看，问题太难，学生很难探究出结论，久而久之，学生会产生畏难情绪，得不到成功的体验，从而失去探究的热情和欲望. 适时适度，抓住最佳时机，选择难度适中的问题就会收到事半功倍的效果.

3. 要充分调动学生探究的主动性. 在探究过程中，教师的作用是抛砖引玉，在学生思维受阻时给予引导，学生才是探究的主角. 教师不可代替学生，把结论全盘托出，这样的探究就会变成教师的成果展示，学生成了

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观赏者，体验不了“探”，调动不起学生探究的积极性和主动性，不能激发学生的探究兴趣和欲望.

4. 探究形式要灵活. 可以是全班学生共同探究，也可以分组探究，根据问题的难度还可分层探究或部分学生探究；可以课内探究，也可课外探究.灵活多样的探究形式可以丰富探究过程，持续学生探究的热情.

5.客观合理评价. 教师是教学的组织者、实施者，是学生学习的引导者、合作者. 在学生探究过程中要全程观察，适时做出提示、评价，对探究成功的学生给予肯定鼓励，对探究失败的学生可以蜻蜓点水般的引导，帮助他们寻找探究的切入点. 对学生探究问题进行客观合理评价是培养学生探究能力的助推剂.

参考文献

中华人民共和国教育部. 普通高中数学课程标准（实验）. 北京：人民教育出版社，2003