2011年高考数学真题解析分项版圆锥曲线 文

P解析：设满足条件的正三角形的三顶点为A、B、F(,0)，依题意可知，A、B必关于x

222y0y0轴对称，故设A(,y0) (y0?0)，则B(,?y0)，则|AB|?2y0，故由抛物线定义可

2P2P2y0P2?4Py0?P2?0，由判别式计算得△>0，得|AF|??，则由|AB|?|AF|，解得y02P2故有两个正三角形，可知选C.

13.（2011年高考辽宁卷文科7)已知 F 是抛物线y?x 的焦点，A．B是该抛物线上的两点,|AF|+|BF|=3,则线段AB的中点到y轴的距离为 (A)

2357 (B)1 (C) (D) 444答案： C

解析：设A、B的横坐标分别是m、n，由抛物线定义，得AF?BF?3=m+m+n+

11+n+= 4415m?n55=3，故m+n=，?，故线段AB的中点到y轴的距离为。 22244二、填空题：

x2y2x2y2?=1有14. （2011年高考山东卷文科15)已知双曲线2?2?1(a＞0，b＞0)和椭圆

ab169相同的焦点，且双曲线的离心率是椭圆离心率的两倍，则双曲线的方程为 .

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x2y2??1上一点P到双曲线右焦点的距离是4，16. （2011年高考四川卷文科14)双曲线

6436那么点P到左准线的距离是 . 答案：16

解析：由双曲线第一定义，|PF1|-|PF2|=±16，因|PF2|=4，故|PF1|=20，（|PF1|=-12舍去），设P到左准线的距离是d，由第二定义，得

2010?，解得d?16. d8y2x217.（2011年高考全国卷文科16)已知F1、F2分别为双曲线C: - =1的左、右焦点，点

279A∈C，点M的坐标为(2，0)，AM为∠F1AF2的平分线．则|AF2| = .

y2x2已知F1、F2分别为双曲线C: - =1的左、右焦点，点A∈C，点M的坐标为(2，0)，AM

279为∠F1AF2∠的平分线．则|AF2| = . 【答案】6 【解析】：

F1(?6,0),F2(6,0)，由角平分线的性质得

AF1FM8?1??2 AF2MF24又AF1?AF2?2?3?6 ?AF2?6

18．（2011年高考重庆卷文科9)设双曲线的左准线与两条渐近线交于A,B 两点，左焦点在以

AB为直径的圆内，则该双曲线的离心率的取值范围为

A．(0,2)

B．(1,2)

C． (2,1) 2D．(2，??)

【答案】B 三、解答题：

18. （2011年高考山东卷文科22)（本小题满分14分）

x2?y2?1.如图所在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C:3示，斜率为k(k＞0)且不过原点的直线l交椭圆C于A，B两点，线段AB的中点为E，射线OE交椭圆C于点G，交直线x??3于点D(?3,m).

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（Ⅰ）求m2?k2的最小值；

（Ⅱ）若OG?OD?OE，（i）求证：直线l过定点；

（ii）试问点B，G能否关于x轴对称？若能，求出此时ABG的外接圆方程；若不能，请说明理由.

【解析】（Ⅰ）由题意:设直线l:y?kx?n(n?0),

2?y?kx?n?222(1?3k)x?6knx?3n?3?0,设A(x1,y1)、B(x2,y2),AB的中点由?x2消y得:2??y?1?3E(x0,y0),则由韦达定理得: x1?x2=

?6kn,即

1?3k2?3kn?3knn,,所以中点E的坐标为y?kx?n??k?n?002221?3k1?3k1?3k?3knn1mk?KE(,因为O、E、D三点在同一直线上，所以，即，解,)???OEOD221?3k1?3k3k3x0?得

m?11，所以m2?k2=2?k2?2,当且仅当k?1时取等号,即m2?k2的最小值为2. kkm?y??x?m?3（Ⅱ）（i）证明:由题意知:n>0,因为直线OD的方程为y??x,所以由?2得交点G

3?x?y2?1??3nm22y?m的纵坐标为yG?,又因为,,且y?OG?OD?OE，所以DE221?3km?3m2n1?m?,又由（Ⅰ）知: ,所以解得k?n,所以直线l的方程为l:y?kx?k,m?22m?31?3kk即有l:y?k(x?1),令x??1得,y=0,与实数k无关,所以直线l过定点(-1,0).

（ii）假设点B，G关于x轴对称,则有ABG的外接圆的圆心在x轴上,又在线段AB的中垂线上,

由（i）知点G((?3m?32,mm?32),所以点B((?3m?32,?mm?32),又因为直线l过定点

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?m2m?3?k，又因为m?1，所以解得m2?1或6，又因为

(-1,0),所以直线l的斜率为?3k?1m2?3此时k=1，m=1，E(3?m2?0,所以m2?6舍去,即n2?1，

?31AB的中垂线为2x+2y+1=0，,)，

44圆心坐标为(?,0)，G((125?311252，圆的方程为(x?)?y?.综上所述, ,),圆半径为22224点B，G关于x轴对称,此时ABG的外接圆的方程为(x?)?y?19. （2011年高考江西卷文科19) (本小题满分12分）

已知过抛物线y?2px?p?0?的焦点，斜率为22的直

212225. 4线交抛物线于A?x1,y2?,B?x2,y2?（x1?x2）两点，且AB?9． （1）求该抛物线的方程；

（2）O为坐标原点，C为抛物线上一点，若OC?OA??OB，求?的值． 【解析】（1）直线AB的方程是

y?22(x?p),与y2?2px联立，从而有4x2?5px?p2?0, 2所以：x1?x2?5p，由抛物线定义得：AB?x1?x2?p?9，所以p=4， 42抛物线方程为：y?8x

224x?5px?p?0,化简得x2?5x?4?0，从而（2）由p=4，

x1?1,x2?4,y1??22,y2?42,从而A:(1,?22),B(4,42)

设OC?(x3,y3)?(1,?22)??(4,42)=(1?4?,?22?42?)，又y3?8x3，即

?2?22，即(2??1)?4??1，解得??0,或??2. 2?2??1??8（4??1）

?220. （2011年高考福建卷文科18)（本小题满分12分） 如图，直线l ：y=x+b与抛物线C ：x2=4y相切于点A。 （1） 求实数b的值；

（11） 求以点A为圆心，且与抛物线C的准线相切的圆的方程.

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