东北三省三校（辽宁省实验中学、东北师大附中、哈师大附中）2019届高三数学第三次模拟考试试题理（含解析）

【点睛】解答本题时要注意以下几点：（1）题中所需要的点的产生的方法，即由线与线相交产生点的坐标；（2）注意将问题合理进行转化，如根据线的垂直可得斜率的关系；（3）由于解题中要涉及到大量的计算，所以在解题中要注意计算的合理性，通过利用抛物线方程进行曲线上点的坐标间的转化、利用“设而不求”、“整体代换”等方法进行求解．

21.已知函数（I）若（Ⅱ）当

，（

为自然对数的底数）

在上单调递减，求的最大值；

时，证明：

.

【答案】（I）2；（Ⅱ）证明见解析. 【解析】 【分析】 （Ⅰ）由题意得

对，则

验证

恒成立，即对于

恒成立，由

时，

对

，得

恒成立，设

，然后再

单调

．然后再证明

时成立即可得到所求．（Ⅱ）结合（Ⅰ）可得当

， 故当

时，

递减，且，整理得

成立，最后将两不等式相加可得所证不等式．

【详解】（Ⅰ）由∵∴即设则∴当∴当∴

， 时，

，

，即

，

，且

单调递增，

， ，

，

单调递增．

，

对

在上单调递减，

对

恒成立， ，得

．

恒成立， ，则

对于

恒成立.

单调递减；当恒成立，

∴的最大值为2．

- 21 -

（Ⅱ）当当∴∴下面证明

时，时，

，即，

单调递减，且

，

，

， ①

， ②

令∴∴由①+②得

在区间

上单调递增，

，则，

，故②成立．

成立．

【点睛】本题考查导数在研究函数问题中的应用，解题时注意转化思想的运用，如把函数单调递减的问题转化为导函数小于等于零恒成立的问题求解．另外，在证明不等式时要根据不等式的特点选择合适的方法，对于一些复杂的不等式，可转化为简单的不等式的证明来求解． 本题综合性较强、难度较大．

请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 选修4-4：坐标系与参数方程 22.已知曲线的参数方程为（I）求动点对应参数从变动到（Ⅱ）若直线

（为参数），时，线段

，为曲线上的一动点.

所扫过的图形面积；

的中点？若存在，

与曲线的另一个交点为，是否存在点，使得为线段

求出点坐标；若不存在，说明理由.

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）存在点满足题意，且【解析】 【分析】

（Ⅰ）先判断出线段

结合扇形的面积可得所求．（Ⅱ）设曲线上求出

的.

，由题意得

后可得点的坐标．

所扫过的图形由一三角形和一弓形组成，然后通过分析图形的特征并

，然后根据点在

- 22 -

【详解】（Ⅰ）设则线段（Ⅱ）设∵为线段∴

扫过的面积

时对应的点为时对应的点为，由题意得轴， .

，

的中点，

，

，

，

∵在曲线上，曲线的直角坐标方程为∴整理得∴∴

，

，

．

，

，

∴存在点满足题意，且点的坐标为

【点睛】本题考查参数方程及其应用，解题的关键是将问题转化为普通方程后再求解，考查转化和计算能力，属于中档题．

选修4-5：不等式选讲 23.已知函数（Ⅰ）解不等式: （Ⅱ）已知

.

；

，若对任意的

恒成立，求正数的取值范围.

【答案】（I）【解析】 【分析】

（Ⅰ）由题意得不等式为式组即可．（Ⅱ）根据题意先得到分类讨论去掉绝对值后可得所求范围． 【详解】（Ⅰ）由题意得不等式为

．

，然后根据分类讨论的方法，去掉绝对值后解不等

，故由题意得

恒成立，

；（Ⅱ）

.

，不等式

- 23 -

①当②当③当综上可得

时，原不等式化为

时，原不等式化为时，原不等式化为

，解得，不合题意；

，∴，∴

； ．

，解得，解得

∴原不等式的解集为（Ⅱ）∵∴当且仅当∴由题意得①当∴由②当∵③当∴综上可得

时，可得

且．

．

，

.

，即

时等号成立，

恒成立， 恒成立，即，

恒成立，

，可得上式显然成立；

时，可得，∴时，可得

． ，

． ；

恒成立，即

恒成立，

恒成立，即

恒成立，

∴故的取值范围是

【点睛】解绝对值不等式的关键是通过对对变量的分类讨论，去掉绝对值后转化为不等式（组）求解，考查转化和计算能力，属于中档题．

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