概率论数理统计（经管类）重点及性质总结 - 图文

第一章 随机事件与概率

（1）事件的包含和相等

包含：设A，B为二事件，若A发生必然导致B发生，则称事件B包含事件A，或事A包含于事件B，记作相等：若

且

，或

性质：

，则称事件A与事件B相等，记作A＝B。

（2）和事件

概念：称事件“A与B至少有一个发生”为事件A与事件B的和事件，或称为事件A与事件B的并，记作

或A＋B。 解释：

包括三种情况①A发生，但B不发生，

②A不发生，但B发生，③A与B都发生。 性质：①

，

；②若

；则

（3）积事件

概念：称“事件A与事件B同时发生”为事件A与事件B的积事件，或称为事件A与B的交，记作A∩B或AB。 解释：A∩B只表示一种情况，即A与B同时发生。 性质：①

，

；② 若

，则AB＝A。

（4）差事件

概念：称“事件A发生而事件B不发生”为事件A与事件B的差事件，记作A－B. 性质：① A－（5）互不相容事件

概念：若事件A与事件B不能同时发生，即AB＝

，则称事件A与事件B互不相容。

；② 若

，则A－B＝

推广：n个事件A1，A2，?，An两两互不相容，即AiAj＝，i≠j，i，j＝1，2，?n。 （6）对立事件：

概念：称事件“A不发生”为事件A的对立事件，记做

.

解释：事件A与B互为对立事件，满足：①AB＝ф；②A∪B＝Ω 性质：①

； ②

，

； ③A－B＝

＝A－AB

④A与B相互对立A与B互不相容.

小结：关系：包含，相等，互不相容，互为对立； 运算：和，积，差，对立. （7）事件的运算性质

①（和、积）交换律 A∪B＝B∪A，A∩B＝B∩A；

②（和、积）结合律 （A∪B）∪C＝A∪（B∪C），（A∩B）∩C＝A∩（B∩C）； ③（和、积）分配律 A∪（B∩C）＝（A∪B）∩（A∪C）；A∩（B∪C）＝（A∩B）∪（A∩C） ④对偶律

；

.

由频率的性质推出概率的性质 ①

推出①

②，推出②P（ф）＝0，P（Ω）＝1

推出③P（A∪B）=P（A）＝P（B），可推

③A，B互不相容，

广到有限多个和无限可列多个. 2.古典概型

概念：具有下面两个特点的随机试验的概率模型，称为古典概型： ①基本事件的总数是有限个，或样本空间含有有限个样本点； ②每个基本事件发生的可能性相同。

计算公式：

概率的定义与性质

（1）定义：设Ω是随机试验E的样本空间，对于E的每一个事件A赋予一个实数，记为 P（A），称P（A）为事件A的概率，如果它满足下列条件： ①P（A）≥0； ②P（Ω）＝1；

③设，，?，，?是一列互不相容的事件，则有 ，

；

；

； ④

.

.

（2）性质 ① ②对于任意事件A，B有 ③

条件概率与乘法公式

定义：设A，B为两个事件，在已知事件B发生的条件下，事件A发生的概率，称为事件B发生条件下事件A发生的条件概率，记做P（A|B）

计算公式：设AB为两个事件，且P（B）>0，则。

乘法公式：当P（A）>0时，有P（AB）＝P（A）P（B|A）； 当P（B）>0时，有P（AB）＝P（B）P（A|B） 推广：

①设P（AB）>0，则P（ABC）＝P（A）P（B|A）P（C|AB）

②设，则

2.全概率公式与贝叶斯公式 （1）划分：设事件 ① ②

，

，?，

，

，?，

满足如下两个条件：

，i＝1，2，?，n；

，?，

至少有一个发生，则称

，

，?，

互不相容，且，即

，

为样本空间Ω的一个划分。 当

，

，?，

为样本空间Ω的一个划分时，每次试验有且仅有其中一个发生。

（2）全概公式：设随机试验的样本空间为Ω，，，?，为样本空间Ω的

一个划分，B为任意一个事件，则

注意：当0

.

就是Ω的一个划分，对任意事件B则有全概公式的最

，

，?，

为样本空间Ω的

（3）贝叶斯公式：设随机试验的样本空间为Ω，一个划分，B为任意一个事件，且P（B）>0，则

，i＝1，2，?，n.

注意：①在使用贝叶斯公式时，往往先利用全概公式计算P（B）； ②理解贝叶斯公式“后验概率”的意义. 事件的独立性

（1）概念：若P（AB）＝P（A）P（B），则称事件A与事件B相互独立，简称A，B独立。 （2）性质：① 设P（A）>0，则A与B相互独立的充分必要条件是

。

② 若A与B相互独立，则A与，与B，与都相互独立。 （3）推广：① 3个事件相互独立：设A，B，C为3个事件，若满足

P（AB）＝P（A）P（B）， P（AC）＝P（A）P（C）， P（BC）＝P（B）P（C）， P（ABC）＝P（A）P（B）P（C） 则称A，B，C相互独立，简称A，B，C独立。 ② 3个事件两两相互独立：设A，B，C为3个事件，若满足

P（AB）＝P（A）P（B）， P（AC）＝P（A）P（C）， P（BC）＝P（B）P（C）， 则称A，B，C两两相互独立。

显然，3事件相互独立必有3事件两两相互独立，反之未必。

③ n个事件相互独立：设A1，A2，?，An为n个事件，若对于任意整数k （1≤k≤n）和任意k个整数1≤i1< i2

则称A1，A2，?，An相互独立，简称A1，A2，?，An独立 n重贝努利试验

概念：如果一次试验只有两个结果：事件A发生或不发生，且P（A）＝p（0

计算：在n重贝努利试验中，设每次试验事件A发生的概率为p，则事件A恰好发生k次的概率Ｐn（k）为

，k＝0，1，2，?，n。

第二章 随机变量及其概率分布

随机变量的概念 定义：设E是随机试验，样本空间为Ω，如果对于每一个样本点ω∈Ω，有一个实数X（ω）与之对应，则称X＝X（ω）为随机变量，记做X, Y, Z,?。 （4）解释：① 随机变量不是普通变量，它的取值不是任意的，它是以一定的可能性（概率）取某一个值的，即具有随机性，因此称为“随机变量”；

② 在一次随机试验中，可以根据不同的需要来定义不同的随机变量。

③ 引入随机变量后，可用随机变量来描述事件，如掷骰子，设出现的点数为随机变量X，则“出现4点”可表示为{X＝4}，“不少于4点”可表示为{X≥4},等等

离散型随机变量定义：若随机变量X只取有限多个或可列无限多个值，则称X为离散型随机变量。

离散型随机变量的分布律：设X为离散型随机变量，可能取值为x1，x2，?，xk，?，且P{X＝xk }＝pk，k＝1，2，?，则称{ pk }为X的分布律（或分布列，概率分布）。

分布律也可以用表格形式表示：

（3）分布律{pk}的性质：① pk≥0，k＝1，2，?；② .

反之，若一个数列{pk}具有以上两条性质，则它可以作为某随机变量的分布律。 （4）用途：可用分布律求任意事件的概率

三种常用的离散型随机变量的分布 （1）0－1分布（两点分布）

定义：若随机变量X只取两个可能值0，1，且P{X＝1}＝p，P{X＝0}＝q, 其中0

q＝1－p, 则称X服从0－1分布，其分布律为

（2）二项分布

定义：若随机变量X的可能取值为0，1，2，?，n，而X的分布律为

，k＝0，1，2，?，n其中0

p的二项分布，记做X～B（n,p）。

解释：n＝1时，二项分布即为0－1分布，所以，二项分布是服从0－1分布的随机试验进行n次的情况。

泊松定理：设λ>0是常数，n是任意正整数，且，则对于任意取定的非负整数k，有。

泊松定理的应用：当n很大，p很小时，二项分布可以用泊松逼近来近似计算。 在实际计算中，当n≥20，p≤0.05时计算效果颇佳 （3）泊松分布

定义：设随机变量X的可能取值为0，1，2，?，n，?，而X的分布律为

，k＝0，1，2，?，其中λ>0，则称X服从参数为λ的泊松分布，

记做X ～ P（λ） 分布函数的概念

定义：设X为随机变量，称函数F（x）=P（X≤x），x∈（-∞,+∞） 为X的分布函数。 离散型随机变量X的分布函数为

分布函数的性质

（1）0≤F（x）≤1。

（2）F（x）是不减函数，即对于任意的x1

，

。

用分布函数表示事件的概率：设随机变量X的分布函数为F（x）, 则

（1）P{X≤b}=F（b）； （2）P{ab}=1-F（b）