尖子生培优训练题：圆锥曲线中离心率的求法专题

专题：离心率的求解

离心率是圆锥曲线中的一个重要的几何性质，在高考中频繁出现，下面介绍常用的四种解法。 一、直接求出a、c，求解e

已知标准方程或a、c易求时，可利用离心率公式e?2c来求解。 ay2例1. 过双曲线C：x?2?1(b?0)的左顶点A作斜率为1的直线l，若l与双曲线M的两条渐近线分

b别相交于点B、C，且|AB|=|BC|，则双曲线M的离心率是（ ） A. 10

B.

5

C.

10 3 D.

5 2二、变用公式，整体求出e

x2y24例2. 已知双曲线2?2?1(a?0,b?0)的一条渐近线方程为y?x，则双曲线的离心率为（ ）

3abA.

5 3 B.

4 3 C.

5 4 D.

3 2三、第二定义法

由圆锥曲线的统一定义（或称第二定义）知离心率e是动点到焦点的距离与相应准线的距离比，特别适用于条件含有焦半径的圆锥曲线问题。

a22例3. 在给定椭圆中，过焦点且垂直于长轴的弦长为，焦点F(c,0)到直线x?的距离为1，则该椭圆

c2 2的离心率为（ ）A.

2

B. C.

1 2 D.

2 4四. 构造a、c的齐次式，解出e

根据题设条件，借助a、b、c之间的关系，构造出a、c的齐次式，进而得到关于e的方程，通过解方程得出离心率e的值，这也是常用的一种方法。

x2y2例4. 已知F1,F2是双曲线2?2?1(a?0,b?0)的两焦点，以线段F1F2为边作正?MF1F2，若边MF1ab的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是（ ）A.4?23B.3?1C.

3?1D. 23?1

高考试题分析：

1

1、如图，等腰梯形ABCD中，AB//CD且AB?2AD，设?DAB??，

???(0,)，以A、B为焦点，且过点D的双曲线的离心率为e1；以C、

2DCD为焦点，且过点A的椭圆的离心率为e2，则 A. 当?增大时，e1增大，e1?e2为定值 B. 当?增大时，e1减小，e1?e2为定值 C. 当?增大时，e1增大，e1?e2增大 D. 当?增大时，e1减小，e1?e2减小

AB2x2y2a2、设双曲线2?2?1,a?0,b?0的右焦点为F，直线x?与两条渐近线交于P、Q两点，如果

cab?PQF是直角三角形，则双曲线的离心率e?____________。

x2y2F,F3、.已知双曲线2?2?1,a?0,b?0的左，右焦点分别为12,点P在双曲线的右支上，且

abPF1?4PF2,则此双曲线的离心率e的最大值为________。

4、已知F1,F2是椭圆的两个焦点，满足MF1?MF2?0的点M总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是

221(0,)[,1)(0,](0,1)2 D．22 C．（ ）A． B．

22xy?1的离心率e的取值范围是（ ） 5、设a?1，则双曲线2?2a(a?1)2) A．(2，B．(2，5) 5) C．(2，

D．(2，5)

x2y2a2a6、在平面直角坐标系中，椭圆2?2?1(a?b?0)的焦距为2，以O为圆心，为半径作圆，过点(,0)cab作圆的两切线互相垂直，则离心率e= _____。 7、在?ABC中，AB?BC，cosB??则该椭圆的离心率e?___。

7．若以A，B为焦点的椭圆经过点C，18x2y28、如图，F1,F2分别是双曲线2?2?1,a?0,b?0的两个焦点，A和B是以Oab

2

为圆心，以OF1为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且△F2AB是等边三角形，则双曲线的离心率为

（ ）（A）3 （B）5

5（C）2（D）1?3

x2y2a29、设F1,F2分别是椭圆2?2?1(a?b?0)的左、右焦点，若在直线x?上存在P使线段PF1的中

cab垂线过点F2，则椭圆离心率的取值范围是（ ）

???2??3?2?3?0，0，，11??????，?3???2??2?3???????A． B． C． D．

2x2y2110、设椭圆2?2?1(a?b?0)的离心率为e?，右焦点为F(c,0)，方程ax?bx?c?0的两个实

2ab根分别为x1和x2，则点P(x1,x2)（ ）

222222x?y?2x?y?2x?y?2外Ｄ．以上三种情形都有可能 Ａ．必在圆内Ｂ．必在圆上Ｃ．必在圆

x2y211、已知椭圆2?2?1(a?b?0)的左右焦点分别为F1,F2，离心率为e，若椭圆上存在点P，使得

abPF1?e，则该离心率e的取值范围是 _____ PF22x2y2y?2px(p?0)有一个共同的焦点F，点M是椭圆与抛12、已知椭圆2?2?1(a?b?0)与抛物线

ab物线的一个交点，若MF?5p，则此椭圆的离心率= _______。 4xy??1(a?b?0)的左、右焦点，点P在椭22abF1O22yPQF2x13、如图，已知F1,F2是椭圆C:

222PF2PFx?y?bC圆上，线段与圆相切于点Q，且点Q为线段2的中点，

则椭圆C的离心率为 _______。

3

22aal,l14、如图， 12的方程分别为直线x??和x?，且分别交x轴于

ccC,D两点，从l1上一点A发出一条光线经过椭圆的左焦点F被x轴反射后与l2交于点B，若AF?BF，且?ABD?75?，则椭圆的离心率等于_________。

2x2y2a15、双曲线2?2?1,a?0,b?0的左右焦点分别为F1,F2，P为左支上一点，M点在直线x?上，

cab且满足PM?F1O,OP??(OF1OF1?OMOM),??0，则该双曲线的离心率为________.

16、已知F是椭圆C的一个焦点，B是短轴的一个端点，线段BF的延长线交C于点D， 且BF?2FD，则C的离心率为 ______ .

x2y2a217、已知椭圆2?2?1(a?b?0)的左焦点F1，O为坐标原点，点P在椭圆上，点Q在椭圆的直线x?cab上，若PQ?2F1O,F1Q??(F1PF1P?F1OF1O),??0,则椭圆的离心率为 ________.

x2y2218、设双曲线2?2?1,a?0,b?0的渐近线与抛物线y?x?1相切，则该双曲线的离心率等于( )

ab（A）3 （B）2 （C）5 （D）6

x2y219、已知椭圆2?2?1(a?b?0)的左、右焦点分别为F1(?c,0),F2(c,0)，若椭圆上存在一点P使

abac?，则该椭圆的离心率的取值范围为________. sin?PF1F2sin?PF2F120、如图，正六边形ABCDEF的顶点A、D为一椭圆的两个焦点， 其余四个顶点B、C、E、F均在椭圆上，则椭圆离心率是______。 21、已知椭圆E的离心率为e，两焦点为F1,F2，抛物线C以F1为顶点， F EA D B C 4