实变函数测试题与答案

1.设Q是R中有理数的全体，则在R中Q的导集Q?是 【 】

(A) Q (B) ? (C) R (D)R?Q 2.设?Fn?是一列闭集，【 】

(A)开集 (B)闭集 (C) G?型集 (D) 型集 3.设【 】

(A) 0 (B)1 (C)＋∞ (D)-∞

EF??Fnn?1?，则

F

一定是

F?是

R中有理数全体，则mE?

4.下面哪些集合的并组成整个集合的点 【 】

(A) 内点，界点，聚点 (B) 内点，界点，

孤立点

(C) 孤立点，界点，外点 (D) 孤立点，聚点，外点 5.【 】

(A) P与Rn对等，且P的测度为0 (B) P与Rn对等，且P的测度为1

(C) P与Rn不对等，P的测度为0 (D)

等，P的测度为1

6. 设

设

P是Cantor集，则

P与

Rn不对

f(x)与

g(x)在

E上可测，则E?f?g?是

【 】

(A) 可测集 (B) 不可测集 (C)空集

(D) 无法判定

7. 设f(x)在可测集E上有定义，fn(x)?min?f(x),n?，则fn(x)是

(A) 单调递增函数列 (B) 单调递减函数列 (C) 可积函数列

(D) 连续函数列

8. 设E是任一可测集，则 【 】

(A) E是开集 (B) E是闭集 (C) E是完备集 (D) 对任意??0，存在开集G?E，使m(G?E)??

9

．

设

f(x)???sin2x,x?[0,1]?Q?1?2x,x?[0,1]?Q，则

?[0,1]f【 】 (A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4

(? x ) d

10．设?fn?是E上一列几乎处处有限的可测函数，若对任意

??0，有下面条件成立，则?fn(x)? 依测度收敛于

f(x)． 【 】

mE?fn(x)?f(x)????0 (B) limmE?fn(x)?f(x)????0 (A) limn??n??mE?fn(x)?f(x)????0 (D) (C) limn??limmE?fn(x)?f(x)????0

n?? 二、定理叙述题(共2题，每题5分，共10分)

1.鲁津定理 2.Fatou引理

三、判断改正题(正确的打对号，错误的打错号并改正，共5题，每题4分，共20分) 1. 若

E与它的真子集对等，则

E一定是有限

集． 【 】

2. 凡非负可测函数都是

L可积

的． 【 】 3.设

A为

R1空间中一非空集，若

A??a.则A?a.

【 】

4.设E为可测集，则存在G?型集F，使得

m(E?F)?0． 【 】

F?E，且

5.

f(x)在?a,b?上

L可积，则

f(x)在?a,b?R可积且

(

【

四、证明题(共4题，每题10分，共40分)

1.开集减闭集后的差集为开集，闭集减开集后的差集为闭集．

2.Rn上全体有理数点集的外测度为零．

3.设函数列{fn}在E上依测度收敛f，且fn?ha.e于E，则f?ha.e于E．

4.设f(x)在?a??,b???上可积，则limbt?0?af(x?t)?f(x)dx?0．

判断题（每题2分，共20分） 1.

必

有

比

a大的基数。（ ） 2.

无

限

个

闭

集

的

并

必

是

闭

集

。（ ） 3.若mE?0，则

E是至多可列集。（ ） 4.

无限集的测度一定不为零。

】