2010线性代数B 期末复习题

求矩阵X.

?110?1??011答 ：X??4??101???

12． 求下列矩阵的特征值与特征向量. ?10?2???（1）?010? (2)

??201???

?3?1?2???20?2??. ?2?1?1???答案： (1) ?1?1,?2??1,?3?3，

对应于?1?1的全部特征向量是k1?0,1,0?，k1?0； 对应于?2??1的全部特征向量是k2?1,0,1?，k2?0； 对应于?3?3的全部特征向量是k3??1,0,1?，k3?0. (2) ?1?0,?2??3?1,

?1??? 对应于?1?0的全部特征向量是k1?1?，k1为非零常数；

?1???TTT 对应于?2??3?1的全部特征向量为

?1??0?????k2?2??k3??2?，k2,k3是不同时为零的常数； ?0??1?????13．设A2?2A?3E?0，求n(n?2)阶方阵A的特征值.。

答案：?1??1,?2?3

?1*?114．

三阶矩阵A的特征值为?1?1,?2?2,?3?3,则A???;A,A,A?A2的特征值

为( ). (6; 1,15．向量组

1111,; 6,3,2; 2,4,9.) 2323?1,?2,?3线性无关，a,b,c满足什么关系时，向量组

a?1??2,b?2??3,c?3??1必线性相关． （abc?1）

9

?k10??1?????16设矩阵A??121?有一个特征向量为??2?，求k及A的三个特征值.

?01k??1?????答案：k?3，A的三个特征值为1,3,4. 17．已知向量组

?1??2,1,2,1?T,?2???1,1,?5,7?T,?3??1,2,?3,8?T,?4??1,?1,a,6?T,?5??3,0,4,7?T

的秩为3，求a及该向量组的一个极大无关组. 答案：a?2,?1,?2,?4 为一个极大无关组. 18.设B2?B,A?I?B.証明：A可逆.

19. 设向量组?1??1,k,?1?,?2??k?1,2,1?,?3??1,?1,k?， (1) k为何值时，?1,?2线性相关？线性无关？ (2) k为何值时，?1,?2,?3线性相关？线性无关？

(3) 当?1,?2,?3线性相关时，将?3表示为?1,?2的线性组合. 答案：(1) k??2时线性相关，k??2时线性无关；

(2) k??1,?2或2时线性相关；k??1且k??2且k?2时线性无关； (3) 当k??1时，?3??1?0??2；当k?2时， ?3??5?341?4?2. ?20设A??123??012??,使得方程组AX?b总有解的b是( ??2?1?1???(k?1?0???2???3?????k?1?1?2??k3?2?)

?2?????1?????1??.

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).