圆锥曲线的综合问题(一)详细解析版

三、解答题

xy9.设F1，F2分别是椭圆E：2＋2＝1(a＞b＞0)

ab的左、右焦点，过F1且斜率为1的直线l与E相交于A，B两点，且|AF2|，|AB|，|BF2|成等差数列.

(1)求E的离心率；

(2)设点P(0，－1)满足|PA|＝|PB|，求E的方程.

解 (1)由椭圆定义知|AF2|＋|BF2|＋|AB|＝4a， 4

又2|AB|＝|AF2|＋|BF2|，得|AB|＝a，

3

22

l的方程为y＝x＋c，其中c＝a－b.

设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则A，B两点的坐标满

22

y＝x＋c，??22

足方程组?xy消去y，化简得(a2＋b2)x2

2＋2＝1，??ab－2ac＋2acx＋a(c－b)＝0，则x1＋x2＝2x1x22，a＋b2

2

2

2

2

a（c－b）＝. 22

a＋b因为直线AB的斜率为1，所以|AB|＝2|x2－x1|44ab2＝2[（x1＋x2）－4x1x2]，即a＝22，故a3a＋b2

2

222

＝2b，

2

ca－b2所以E的离心率e＝＝＝.

aa2

(2)设AB的中点为N(x0，y0)，由(1)知

22

x0＝

x1＋x2

2－a2c2cc＝2，y0＝x0＋c＝. 2＝－a＋b33

y0＋1

由|PA|＝|PB|，得kPN＝－1，即＝－1，

x0

得c＝3，从而a＝32，b＝3. 故椭圆E的方程为

＋＝1. 189

2

2

x2

y2

xy10.已知椭圆C：2＋2＝1(a>b>0)

ab2

的一个顶点为A(2，0)，离心率为.

2

直线y＝k(x－1)与椭圆C交于不同的两点M，N. (1)求椭圆C的方程；

10(2)当△AMN的面积为时，求k的值.

3

?a＝2，?c2

解 (1)由题意得?＝，

a2?222?a＝b＋c.

解得b＝2，所以椭圆C的方程为＋＝1.

42

x2

y2

y＝k（x－1），??22

2222

(2)由?xy得(1＋2k)x－4kx＋2k＋＝1，??42

－4＝0.

设点M，N的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)， 则y1＝k(x1－1)，y2＝k(x2－1)， 4k2k－4

x1＋x2＝2，x1x2＝2， 1＋2k1＋2k所以|MN|＝（x2－x1）＋（y2－y1） ＝（1＋k）[（x1＋x2）－4x1x2]

2

22

2

2

2

2（1＋k）（4＋6k）＝ 2

1＋2k又因为点A(2，0)到直线y＝k(x－1)的距离d＝|k|

2， 1＋k1|k|4＋6k2

所以△AMN的面积为S＝|MN|·d＝，2

21＋2k|k|4＋6k10

由＝，解得k＝±1. 2

1＋2k3

能力提高

2

22

y11.已知椭圆＋2＝1(0＜b＜2)的左、右焦点分

4b别为F1，F2，过F1的直线l交椭圆于A，B两点，若|BF2|＋|AF2|的最大值为5，则b的值是( ) A.1

B.2 3

C. 2

D.3

x22

解析 由椭圆的方程，可知长半轴长为a＝2，