解圆锥曲线问答通用方法

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当4x02+1=3 即 x0??2255,) 时，(y0)min?此时M(?2244yMAA1A20M1M2B1B2xB法二：如图，2MM2?AA2?BB2?AF?BF?AB?3 313∴MM2?， 即MM1??， 2425∴MM1?， 当AB经过焦点F时取得最小值。 4∴M到x轴的最短距离为

5 4点评：解法一是列出方程组，利用整体消元思想消x1，x2，从而形成y0关于x0的函数，这是一种“设而不求”的方法。而解法二充分利用了抛物线的定义，巧妙地将中点M到x轴的距离转化为它到准线的距离，再利用梯形的中位线，转化为A、B到准线的距离和，结合定义与三角形中两边之和大于第三边（当三角形“压扁”时，两边之和等于第三边）的属性，简捷地求解出结果的，但此解法中有缺点，即没有验证AB是否能经过焦点F，而且点M的坐标也不能直接得出。

x2y2??1(2?m?5)过其左焦点且斜率为1的直线与椭圆及准线从左到右依次变于A、B、C、例6、已知椭圆

mm?1D、设f(m)=AB?CD,（1）求f(m),（2）求f(m)的最值。

分析：此题初看很复杂，对f(m)的结构不知如何运算，因A、B来源于“不同系统”，A在准线上，B在椭圆上，同样C在椭圆上，D在准线上，可见直接求解较繁，将这些线段“投影”到x轴上，立即可得防 f(m)?(xB?xA)2?(xD?xC)2?2(xB?xA)?(xD?XC) ?2(xB?xC)?(xA?xD) 2(xB?XC)

AyCD ?BF10F2x此时问题已明朗化，只需用韦达定理即可。

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x2y2??1中，a2=m，b2=m-1，c2=1，左焦点F1(-1,0) 解：（1）椭圆

mm?1则BC:y=x+1,代入椭圆方程即(m-1)x2+my2-m(m-1)=0

得(m-1)x2+m(x+1)2-m2+m=0

∴(2m-1)x2+2mx+2m-m2=0

设B(x1,y1),C(x2,y2),则x1+x2=-

2m(2?m?5)

2m?1f(m)?AB?CD?2(xB?xA)?(xD?xC)2m

?2(x1?x2)?(xA?xC)?2x1?x2?2?2m?1（2）f(m)?22m?1?11?2(1?)

2m?12m?1102 942 3∴当m=5时，f(m)min? 当m=2时，f(m)max?点评：此题因最终需求xB?xC，而BC斜率已知为1，故可也用“点差法”设BC中点为M(x0,y0),通过将B、C坐标代入作差，得

x0yxx?1m2m?0?k?0，?0，将y0=x0+1，k=1代入得0?0∴x0??，可见xB?xC?? mm?1mm?12m?12m?1当然，解本题的关键在于对f(m)?AB?CD的认识，通过线段在x轴的“投影”发现f(m)?xB?xC是解此题的要点。

【同步练习】

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x2y21、已知：F1，F2是双曲线2?2?1的左、右焦点，过F1作直线交双曲线左支于点A、B，若AB?m，△ABF2

ab的周长为（ ）

A、4a B、4a+m C、4a+2m D、4a-m

2、若点P到点F(4,0)的距离比它到直线x+5=0的距离小1，则P点的轨迹方程是 （ ）

A、y2=-16x B、y2=-32x C、y2=16x D、y2=32x

3、已知△ABC的三边AB、BC、AC的长依次成等差数列，且AB?AC，点B、C的坐标分别为(-1，0)，(1，0)，则顶点A的轨迹方程是（ ）

x2y2x2y2??1 B、??1(x?0) A、

4343x2y2x2y2??1(x?0) D、??1(x?0且y?0) C、43434、过原点的椭圆的一个焦点为F(1，0)，其长轴长为4，则椭圆中心的轨迹方程是 （ ）

919(x??1) B、(x?)2?y2?(x??1) 42412912922C、x?(y?)?(x??1) D、x?(y?)?(x??1)

2424A、(x?)?y?2212x2y2??1上一点M的横坐标为4，则点M到左焦点的距离是 5、已知双曲线

9166、抛物线y=2x2截一组斜率为2的平行直线，所得弦中点的轨迹方程是 7、已知抛物线y2=2x的弦AB所在直线过定点p(-2，0)，则弦AB中点的轨迹方程是

8、过双曲线x2-y2=4的焦点且平行于虚轴的弦长为

9、直线y=kx+1与双曲线x2-y2=1的交点个数只有一个，则k=

x2y2??1上的动点，F1，F2是椭圆的两个焦点，求sin∠F1PF2的最大值。 10、设点P是椭圆

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11、已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，左焦点到坐标原点、右焦点、右准线的距离依次成等差数列，若直线l与此椭圆相交于A、B两点，且AB中点M为(-2，1)，AB?43，求直线l的方程和椭圆方程。

x2y212、已知直线l和双曲线2?2?1(a?0,b?0)及其渐近线的交点从左到右依次为A、B、C、D。求证：AB?CD。

ab

参考答案