贝塞尔函数

20.3.1 贝塞尔函数的递推公式

由贝塞尔函数的级数表达式（20.2.1）容易推出

J(x)dJ?(x)[?]??v?1vdxxx (20.3.1) dv[xJv(x)]?xvJv?1(x)dx (20.3.2)

以上两式都是贝塞尔函数的线性关系式. 诺伊曼函数Nv(x)和汉克尔函数也应该满足

上述递推关系．

若用Zv(x)代表v阶的第一或第二或第三类函数,总是有

dv[xZv(x)]?xvZv?1(x)dx (20.3.3)

d?v[xZv(x)]??x?vZv?1(x)dx (20.3.4)

把两式左端展开, 又可改写为

vZ??(x)?Zv(x)??Zv?1(x)x (20.3.5) vZ???Zv(x)?Zv?1(x)x (20.3.6)

从(20.3.5)和(20.3.6)消去Z?或消去Z??可得

?(x) Zv?1(x)?Zv?1(x)?2ZvZv?1(x)??Zv?1(x)?2vZv(x)x

即为从Zv?1(x)和Zv(x)推算Zv?1(x)的递推公式.

上式也可以写成为

vZv?1(x)?Zv?1(x)?2Zv(x)x （20.3.7）

Zv?1(x)?Zv?1(x)?2Z??(x) （20.3.8）

任一满足一组递推关系的函数Zv(x)统称为柱函数．

例 20.3.1 求

?xJ2(x)dx

【解】 根据公式 (20.3.8) Zv?1(x)?Zv?1(x)?2Z??(x) 有

?(x)J2(x)?J0(x)?2J1

?xJ(x)dx??xJ(x)dx?2?xJ?(x)dx?xJ(x)?2[xJ(x)??J(x)dx]?xJ(x)?2[xJ(x)??J?(x)dx]??xJ(x)?2J(x)?c

2011111101020.3.2贝塞尔函数正交性和模

1．正交性

对应不同本征值的本征函数分别满足

dJmdm2(m)2[?]?{[ki]?2}Jm(ki(m)?)?0 d?d?? (20.3.9)

dJmdm2(m)2[?]?{[kj]?2}Jm(k(jm)?)?0 d?d?? (20.3.10)

(m)(m)J(k?)，然后两式相减，再积分，利mj?)，将(20.3.10)乘以Jm(ki将(20.3.9)乘以

用分部积分法得到

{[ki(m)]2?[k(jm)]2}?Jm(ki(m)?)Jm(k(jm)?)?d?0?0

?[?Jm(ki(m)?)dd?Jm(k(jm)?)??Jm(k(jm)?)Jm(ki(m)?)]|0?0d?d?

0(m)(m)k?kj故当 i时

??00Jm(ki(m)?)Jm(k(jm)?)?d??0 (20.3.11)

(m)Nn2．贝塞尔函数的模

[N(m)2n?0212m2(m)]?(?0??)[Jm(kn?0)]22?n?nH （20.3.12）

20.3.3 广义傅立叶－贝塞尔级数

(m)按照施－刘型本征值问题的性质，本征函数族Jm(kn?)是完备的，可作为广义傅立叶级数展开的基．

定义在区间[0,?0]上的函数f(?)，可以展开为广义的傅立叶－贝塞尔级数为 其中广义傅氏系数

(m)f(?)??fnJm(kn?)n?1? （20.3.13）

(20.3.14)

fn?1[N(m)2n]??00(m)f(?)Jm(kn?)?d?20.3.4 贝塞尔函数的母函数（生成函数）

1. 母函数（生成函数） 考虑解析函数G(x,z)?e数，不是复变数z的实部）．因为

xz2?x1(z?)2z在

0?z???内的罗朗展式（注意，此处的x为参变

xxl()k()x?1??zk222e??ze??(?z)?ll!k?0k!l?0 ，

xkxl()()x1??(z?)e2z??2zk?2(?z)?ll!k?0k!l?0故

0?z???内是可以相乘的，且可按任意方式并项．令

对于固定的z，以上两级数在

x1(z?)2z??(?1)lxk?lk?l(?1)lx???()z??[?()2l?n]znk?0l?0k!l!2n???l?0(n?l)!l!2 ???k?l?n,n?0,?1,?2,?,得

G(x,z)?e

故

G(x,z)?

n????Jn(x)zn (20.3.15)

称e为贝塞尔函数的母函数（或生成函数）．

2.加法公式

x1(z?)2zG(x,z)? 利用母函数公式

n????J?n(x)zn故有

G(x?y,z)?e ?ex?y1(z?)2z?n???x1(z?)2z?J?m(x?y)zmey1(z?)2z?G(x,z)G(y,z)?

m比较两边的z项的系数，即得加法公式

k?????Jk(x)zkn???nJ(y)z?n?

k??? (20.3.16)

3．贝塞尔函数的积分表达式

利用母函数公式(20.3.30)和罗朗展式的系数表达式，得到

Jm(x?y)??J??k(x)Jm?k(y)1e?Czm?1dz (m?0,?1,?2,?) 2πi?i?其中C是围绕z?0点的任意一条闭曲线．如果取C为单位圆，则在C上，有z?e．从

Jm(x)?而得到

x1(z?)2z12πixsin?i??m?1i?12πi(xsin??m?)Jm(x)?e(e)(ie)d??ed???002πi2π

12πJm(x)?coxs(?si?nm??)dm,? ?(??0,1,2,)?02π （20.3.17）

其中积分式中的sin(xsin??m?)的项已被省去，因为在[0,2π]上其积分为零．

式(20.3.10)就是整数阶贝塞尔函数的积分表达式． 特别若m?0时，有

1πJ0(x)??cos(xsin?)d?π0 （20.3.18）