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知 识 梳 理

1．两个实数比较大小的方法

?a－b＞0?a＞b，

(1)作差法?a－b＝0?a＝b，

?a－b＜0?a＜b；

??a

(2)作商法?b＝1?a＝b（a∈R，b＞0），

a??b＜1?a＜b（a∈R，b＞0）.

2．不等式的性质 (1)对称性：a＞b?b＜a； (2)传递性：a＞b，b＞c?a＞c；

(3)可加性：a＞b?a＋c＞b＋c；a＞b，c＞d?a＋c≥b＋d； (4)可乘性：a＞b，c＞0?ac＞bc；a＞b＞0，c＞d＞0?ac＞bd； (5)可乘方：a＞b＞0?an＞bn(n∈N，n≥1)； nn(6)可开方：a＞b＞0?a＞b(n∈N，n≥2)． 3．三个“二次”间的关系 判别式 Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0 a

b＞1?a＞b（a∈R，b＞0），

Δ＝b－4ac 二次函数 y＝ax2＋bx＋c (a＞0)的图象 2 一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0 (a＞0)的根 有两相异实根 x1，x2(x1＜x2) 有两相等实根 bx1＝x2＝－2a 没有实数根 ax2＋bx＋c＞0 (a＞0)的解集 ax2＋bx＋c＜0 (a＞0)的解集 {x|x＞x2 或x＜x1}{x|x1＜x＜x2} ?b??x|x≠－? 2a??R ? ? 考点一 条件判断不等式是否成立

1．判断不等式是否成立，主要有利用不等式的性质和特殊值验证两种方法，特别是对于有一定条件限制的选择题，用特殊值验证的方法更简单． 2．比较法是不等式性质证明的理论依据，是不等式证明的主要方法之一，比较法之一作差法的主要步骤为作差——变形——判断正负．

3．“三个二次”的关系是解一元二次不等式的理论基础；一般可把a＜0的情况转化为a＞0时的情形．

11111

【例1】 若a＜b＜0，给出下列不等式：①＜ab；②|a|＋b＞0；③a－a＞

a＋b

1

b－b；④ln a2＞ln b2.其中正确的不等式是( ) A．①④ B．②③ C．①③ D．②④

解析 法一 特例法，特例原则，符合条件，尽量简单，一次不够再来一次 11

因为a＜b＜0，故可取a＝－1，b＝－2. 显然|a|＋b＝1－2＝－1＜0，所以②错误；

因为ln a2＝ln(－1)2＝0，ln b2＝ln(－2)2＝ln 4＞0，所以④错误． 综上所述，可排除A，B，D.

111

法二 由a＜b＜0，可知b＜a＜0.①中，因为a＋b＜0，ab＞0，所以＜0，

a＋b111＞0.故有＜，即①正确； ababa＋b

②中，因为b＜a＜0，所以－b＞－a＞0.故－b＞|a|，即|a|＋b＜0，故②错误； 111111

③中，因为b＜a＜0，又a＜b＜0，则－a＞－b＞0，所以a－a＞b－b，故③

正确；

④中，因为b＜a＜0，根据y＝x2在(－∞，0)上为减函数，可得b2＞a2＞0，而y＝ln x在定义域(0，＋∞)上为增函数，所以ln b2＞ln a2，故④错误．由以上分析，知①③正确． 答案 C

【训练1】 (1)(2014·模拟)若a＜b＜0，则下列不等式一定成立的是( ) 11A.＞b B．a2＜ab a－b

|b||b|＋1C.|a|＜ D．an＞bn

|a|＋1

解析 (1)(特值法)取a＝－2，b＝－1，逐个检验，可知A，B，D项均不正确；|b||b|＋1C项，|a|＜?|b|(|a|＋1)＜|a|(|b|＋1)?|a||b|＋|b|＜|a||b|＋|a|?|b|＜|a|，

|a|＋1∵a＜b＜0，∴|b|＜|a|成立，故选C.

考点二 一元二次不等式、函数、方程关系

不等式解集的端点是方程的根（求方程根、分段、验证） 【例2-1】解不等式x2＋x－12≥0 解：由x2＋x－12≥0得(x－3)(x＋4)≥0， ∴x≤－4或x≥3.

答案 (－∞，－4]∪[3，＋∞)

训练2-1-1】．“|x|＜2”是“x2－x－6＜0”的 ( )

A．充分而不必要条件 C．充要条件

B．必要而不充分条件 D．既不充分也不必要条件

解析 不等式|x|＜2的解集是(－2，2)，而不等式x2－x－6＜0的解集是(－2，3)，于是当x∈(－2，2)时，可得x∈(－2，3)，反之则不成立，故选A. 答案 A

含有参数的不等式的求解，往往需要比较(相应方程)根的大小，对参数进行分类讨论（是二次吗？有根吗？根的大小确定吗？） 例2-2】解关于x的不等式kx2－2x＋k＜0(k∈R)． 解 ①当k＝0时，不等式的解为x＞0.

1－1－k2

②当k＞0时，若Δ＝4－4k＞0，即0＜k＜1时，不等式的解为＜x

k

2

1＋1－k2＜；

k

若Δ≤0，即k≥1时，不等式无解． ③当k＜0时，若Δ＝4－4k2＞0， 即－1＜k＜0时，

1＋1－k21－1－k2x＜或x＞；

kk

若Δ＜0，即k＜－1时，不等式的解集为R； 若Δ＝0，即k＝－1时，不等式的解为x≠－1. 综上所述，k≥1时，不等式的解集为?； 0＜k＜1时，不等式的解集为 ?1－1－k21＋1－k2?

?x|?； ＜x＜

kk??k＝0时，不等式的解集为{x|x＞0}； 当－1＜k＜0时，不等式的解集为 ?1＋1－k21－1－k2?

?x|x＜?； ，或x＞

kk??k＝－1时，不等式的解集为{x|x≠－1}；