2021版高考文科数学（人教A版）一轮复习教师用书：第四章 第4讲 第2课时 三角函数的图象与性质（二） Wo

2＋3

故f(x)的最小值为0，最大值为.

2

解决三角函数图象与性质综合问题的方法

先将y＝f(x)化为y＝asin x＋bcos x的形式，然后用辅助角公式化为y＝Asin(ωx＋φ)的形式，再借助y＝Asin(ωx＋φ)的性质(如周期性、对称性、单调性等)解决相关问题．

π

2x－?. 已知函数f(x)＝2sin?4??

(1)求函数的最大值及相应的x值的集合； (2)求函数f(x)的图象的对称轴方程与对称中心． πππ

2x－?＝1时，2x－＝2kπ＋，k∈Z， 解：(1)当sin?4??423π

即x＝kπ＋，k∈Z，此时函数取得最大值为2；

8

3π??x＝＋kπ，k∈Z?. 故f(x)的最大值为2，使函数取得最大值的x的集合为?x?8???ππ

(2)由2x－＝＋kπ，k∈Z，

423π1

得x＝＋kπ，k∈Z.

82

3π1

即函数f(x)的图象的对称轴方程为x＝＋kπ，k∈Z.

82ππ1

由2x－＝kπ，k∈Z得x＝＋kπ，k∈Z，

482π1

＋kπ，0?，k∈Z. 即对称中心为??82?

[基础题组练]

1．函数y＝3sin 2x＋cos 2x的最小正周期为( ) π

A. 2C．π

解析：选C.因为y＝2?

2πB. 3D．2π

31?sin 2x＋cos 2x＝

2?2?

π2π

2x＋?，所以T＝＝π. 2sin?6??2

2．f(x)＝tan x＋sin x＋1，若f(b)＝2，则f(－b)＝( )

A．0 C．－1

B．3 D．－2

解析：选A.因为f(b)＝tan b＋sin b＋1＝2， 即tan b＋sin b＝1.

所以f(－b)＝tan(－b)＋sin(－b)＋1 ＝－(tan b＋sin b)＋1＝0.

π?3．若?则ω的一个取值是( ) ?8，0?是函数f(x)＝sin ωx＋cos ωx图象的一个对称中心，A．2 C．6

B．4 D．8

π

ωx＋?， 解析：选C.因为f(x)＝sin ωx＋cos ωx＝2sin?4??

π??ωπ＋π?＝0，所以ωπ＋π＝kπ(k∈Z)，即ω＝8k－2(k∈Z)，当k由题意，知f?＝2sin?8??84?84＝1时，ω＝6.

π

4．关于函数y＝tan(2x－)，下列说法正确的是( )

3A．是奇函数

π

B．在区间(0，)上单调递减

3π

C．(，0)为其图象的一个对称中心

6D．最小正周期为π

ππ

解析：选C.函数y＝tan(2x－)是非奇非偶函数，A错；在区间(0，)上单调递增，B错；

33ππkπkπππ

最小正周期为，D错；由2x－＝，k∈Z得x＝＋，当k＝0时，x＝，所以它的图象

232466π

关于(，0)中心对称，故选C.

6

π

ωx＋?(ω＞0)的最小正周期为4π，则该函数的图象( ) 5．已知函数f(x)＝2sin?6??π?

A．关于点??3，0?对称 π

C．关于直线x＝对称

3

5π?

B．关于点??3，0?对称 5π

D．关于直线x＝对称

3

π2π

ωx＋?(ω＞0)的最小正周期是4π，而T＝＝4π，所以ω＝解析：选B.函数f(x)＝2sin?6??ω

1π?1xππ2

x＋.函数f(x)的对称轴为＋＝＋kπ，解得x＝π＋2kπ(k∈Z)；令k＝0，即f(x)＝2sin??26?226232xπ1

得x＝π.函数f(x)的对称中心的横坐标为＋＝kπ，解得x＝2kπ－π(k∈Z)，令k＝1得f(x)

32635

π，0?. 的一个对称中心??3?

ππ

ωx＋?(ω∈N*)图象的一个对称中心是?，0?，则ω的最小值6．若函数y＝cos?6???6?为 ．

πωππ

解析：由题意知＋＝kπ＋(k∈Z)?ω＝6k＋2(k∈Z)，又ω∈N*，所以ωmin＝2.

662答案：2

π

2x＋?；④y＝tan 2x7．(2020·无锡期末)在函数①y＝cos|2x|；②y＝|cos 2x|；③y＝cos?6??中，最小正周期为π的所有函数的序号为 ．

解析：①y＝cos|2x|＝cos 2x，最小正周期为π；②y＝cos 2x，最小正周期为π，由图象ππ2π

2x＋?的最小正周期T＝＝π；④y＝tan 2x的最知y＝|cos 2x|的最小正周期为；③y＝cos?6??22π

小正周期T＝.因此①③的最小正周期为π.

2

答案：①③

π

8．已知函数f(x)＝2sin(ωx－)＋1(x∈R)的图象的一条对称轴为x＝π，其中ω为常数，

6且ω∈(1，2)，则函数f(x)的最小正周期为 ．

ππ

解析：由函数f(x)＝2sin(ωx－)＋1(x∈R)的图象的一条对称轴为x＝π，可得ωπ－＝kπ

66π

＋，k∈Z， 2

252π6π

所以ω＝k＋，又ω∈(1，2)，所以ω＝，从而得函数f(x)的最小正周期为＝.

3355

36π答案： 5

πππ

x－?＋2sin?x－?·sin?x＋?.求函数f(x)的最小正周期和图象9．已知函数f(x)＝2cos2??6??4??4?的对称中心．

πππx－?＋2sin?x－?·sin?x＋? 解：因为f(x)＝2cos2??6??4??4?ππππ

2x－?＋1＋2sin?x－?sin?x＋－? ＝cos?3???4??24?

πππ

2x－?＋2sin?x－?cos?x－?＋1 ＝cos?3???4??4?π13

2x－?＋1 ＝cos 2x＋sin 2x＋sin?2??22＝

31

sin 2x－cos 2x＋1 22

π

2x－?＋1， ＝sin?6??

πkπ?2π

所以f(x)的最小正周期为＝π，图象的对称中心为??12＋2，1?，k∈Z. 22π

0<φ

π3

(2)若f(x)的图象过点?，?，求f(x)的单调递增区间．

?62?2π

解：由f(x)的最小正周期为π，则T＝＝π，所以ω＝2，

ω所以f(x)＝sin(2x＋φ)．

(1)当f(x)为偶函数时，f(－x)＝f(x)． 所以sin(2x＋φ)＝sin(－2x＋φ)， 展开整理得sin 2xcos φ＝0， 已知上式对?x∈R都成立，

2ππ

所以cos φ＝0.因为0<φ<，所以φ＝.

32π?3?2×π＋φ?＝3， (2)因为f?＝，所以sin?6?2?6?2πππ2π

即＋φ＝＋2kπ或＋φ＝＋2kπ(k∈Z)， 3333π

故φ＝2kπ或φ＝＋2kπ(k∈Z)，

32ππ

又因为0<φ<，所以φ＝，

33π2x＋?， 即f(x)＝sin?3??

πππ

由－＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ(k∈Z)得

2325ππ

kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)，

1212