2021版高考文科数学（人教A版）一轮复习教师用书：第四章 第4讲 第2课时 三角函数的图象与性质（二） Wo

第2课时 三角函数的图象与性质(二)

三角函数的周期性与奇偶性(师生共研)

π

x－?－1是( ) (1)函数f(x)＝2cos2??4?A．最小正周期为π的奇函数 B．最小正周期为π的偶函数 π

C．最小正周期为的奇函数

2π

D．最小正周期为的偶函数

2

(2)(2020·湖北宜昌联考)已知函数y＝2sin(ωx＋θ)(0＜θ＜π)为偶函数，其图象与直线y＝2的某两个交点的横坐标分别为x1，x2，|x2－x1|的最小值为π，则( )

π

A．ω＝2，θ＝

21π

C．ω＝，θ＝

24

π

x－?－1 【解析】 (1)因为f(x)＝2cos2??4?

1π

B．ω＝，θ＝

22π

D．ω＝2，θ＝

4

?x－π??＝cos?2x－π?＝sin 2x. ＝cos?22???4???

2π

所以T＝＝π，f(x)＝sin 2x是奇函数．

2故函数f(x)是最小正周期为π的奇函数．

(2)因为函数y＝2sin(ωx＋θ)的最大值为2，且其图象与直线y＝2的某两个交点的横坐标分别为x1，x2，|x2－x1|的最小值为π，所以函数y＝2sin(ωx＋θ)的最小正周期是π.

2π

由＝π得ω＝2. ω

π

因为函数y＝2sin(ωx＋θ)为偶函数，所以θ＝＋kπ，k∈Z.

2π

又0＜θ＜π，所以θ＝，故选A.

2【答案】 (1)A (2)A

(1)奇偶性的判断方法：三角函数中奇函数一般可化为y＝Asin ωx或y＝Atan ωx的形式，

而偶函数一般可化为y＝Acos ωx＋b的形式．

(2)周期的计算方法：利用函数y＝Asin(ωx＋φ)(ω>0)，y＝Acos(ωx＋φ)(ω＞0)的最小正2ππ

周期为，函数y＝Atan(ωx＋φ)(ω＞0)的最小正周期为求解．

ωω

1．下列函数中，最小正周期为π的奇函数是( ) π

2x＋? A．y＝sin?2??C．y＝sin 2x＋cos 2x

π

2x＋? B．y＝cos?2??D．y＝sin x＋cos x

ππ

2x＋?＝cos 2x是偶函数，不符合题意；y＝cos?2x＋?＝－sin 2x是解析：选B.y＝sin?2?2???T＝π的奇函数，符合题意；同理C，D均不是奇函数．

π

ωx＋φ－? 2．(2020·石家庄市质量检测)设函数f(x)＝sin?4??

?ω＞0，|φ|＜π?的最小正周期为π，且f(－x)＝f(x)，则( )

2??

π

0，?上单调递增 A．f(x)在??2?ππ

－，?上单调递减 B．f(x)在??22?π

0，?上单调递减 C．f(x)在??2?ππ

－，?上单调递增 D．f(x)在??22?

π

ωx＋φ－?，因为f(x)的最小正周期为π，所以ω＝2，所以f(x)＝解析：选A.f(x)＝sin?4??πππ3π

2x＋φ－?.f(－x)＝f(x)，即f(x)为偶函数，所以φ－＝kπ＋(k∈Z)，所以φ＝kπ＋sin?4??424πππ

0，?上单调递增，在(k∈Z)．因为|φ|＜，所以φ＝－，所以f(x)＝－cos 2x，所以f(x)在??2?24

?－π，0?上单调递减，故选A.

?2?

三角函数的对称性(师生共研)

ππ

A＞0，ω＞0，|φ|＜?的图象关于直线x＝对称，它的最 函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)?2??3

小正周期为π，则函数f(x)图象的一个对称中心是( )

π?A.??3，1? 5π?C.??12，0?

π

，0? B.??12?π

－，0? D．??12?

2π

【解析】 由题意可得＝π，所以ω＝2，

ω可得f(x)＝Asin(2x＋φ)，

π

再由函数图象关于直线x＝对称，

3π?π?2π＋φ?＝±故f?＝AsinA，故可取φ＝－. ?3??3?6ππ

2x－?，令2x－＝kπ，k∈Z， 故函数f(x)＝Asin?6??6

kππkππ

＋，0?，k∈Z. 可得x＝＋，k∈Z，故函数的对称中心为??212?212π

，0?. 所以函数f(x)图象的一个对称中心是??12?【答案】 B

三角函数图象的对称轴和 对称中心的求解思路和方法

(1)思路：函数y＝Asin(ωx＋φ)图象的对称轴和对称中心可结合y＝sin x图象的对称轴和对称中心求解．

（2k＋1）π－2φπ

(2)方法：利用整体代换的方法求解，令ωx＋φ＝kπ＋，k∈Z，解得x＝，

22ωkπ－φ

k∈Z，即对称轴方程；令ωx＋φ＝kπ，k∈Z，解得x＝，k∈Z，即对称中心的横坐标(纵

ω坐标为0)．对于y＝Acos(ωx＋φ)，y＝Atan(ωx＋φ)，可以利用类似方法求解(注意y＝Atan(ωx＋φ)的图象无对称轴)．

π3π

1．(2019·高考全国卷Ⅱ)若x1＝，x2＝是函数f(x)＝sin ωx(ω＞0)两个相邻的极值点，

44则ω＝( )

A．2 C．1

3

B. 21D．

2

2π3ππ

解析：选A.依题意得函数f(x)的最小正周期T＝＝2×(－)＝π，解得ω＝2，选A.

ω442．已知函数f(x)＝|sin x||cos x|，则下列说法错误的是( ) π

A．f(x)的图象关于直线x＝对称

2π

B．f(x)的周期为

2

C．(π，0)是f(x)的一个对称中心 ππ?

D．f(x)在区间??4，2?上单调递减

π?11解析：选A.f(x)＝|sin x||cos x|＝|sin xcos x|＝·|sin 2x|，则f??2?＝2|sin π|＝0，则f(x)的图象2π12ππ1

不关于直线x＝对称，故A错误；函数周期T＝×＝，故B正确；f(π)＝|sin 2π|＝0，

22222ππ?π

，时，2x∈?，π?，此时sin 2x＞0，则(π，0)是f(x)的一个对称中心，故C正确；当x∈??42??2?且sin 2x为减函数，故D正确．

三角函数的图象与性质的综合问题(师生共研)

3π?

－x－3cos2x＋3. 已知函数f(x)＝sin(2π－x)·sin??2?(1)求f(x)的最小正周期和图象的对称轴方程； 7π

0，?时，求f(x)的最小值和最大值． (2)当x∈??12?【解】 (1)由题意，得f(x)＝(－sin x)(－cos x)－3cos2x＋3＝sin xcos x－3cos2x＋3π131333

2x－?＋， ＝sin 2x－(cos 2x＋1)＋3＝sin 2x－cos 2x＋＝sin?3?2?22222

2π

所以f(x)的最小正周期T＝＝π；

2

ππkπ5π

令2x－＝kπ＋(k∈Z)，则x＝＋(k∈Z)，

32212kπ5π

故所求图象的对称轴方程为x＝＋(k∈Z)．

2127πππ5π

(2)当0≤x≤时，－≤2x－≤，

12336由函数图象(图略)可知，－

π3π32＋3

2x－?≤1，即0≤sin(2x－)＋≤≤sin?. 3??2322