高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.2.2 抛物线的简单性质（一）作业2 北师大版选修1-1

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2.2.2 抛物线的简单性质（一）

[A.基础达标]

22

1．以坐标轴为对称轴，以原点为顶点且过圆x＋y－2x＋6y＋9＝0的圆心的抛物线的方程是( )

22

A．y＝3x或y＝－3x

2

B．y＝3x

22

C．y＝－9x或y＝3x

22

D．y＝－3x或y＝9x

22

解析：选D.圆的方程可化为(x－1)＋(y＋3)＝1，圆心为(1，－3)，由题意可设抛物

22

线方程为y＝2px(p>0)或x＝－2py(p>0)．把(1，－3)代入得9＝2p或1＝6p，

91122

所以p＝或p＝，所以y＝9x或x＝－y.

263

2

2．设M(x0，y0)为抛物线C：x＝8y上一点，F为抛物线C的焦点，以F为圆心，|FM|为半径的圆和抛物线C的准线相交，则y0的取值范围是( )

A．(0，2) B．[0，2] C．(2，＋∞) D．[2，＋∞)

解析：选C.圆心到抛物线准线的距离为p＝4，根据题意只要|FM|>4即可，由抛物线定义，|FM|＝y0＋2，由y0＋2>4，解得y0>2，故y0的取值范围是(2，＋∞)．

2

3．已知抛物线y＝2px(p>0)的经过焦点的弦AB的两端点坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，

y1y2

y2)，则的值一定等于( )

x1x2

A．4

2

C．p

B．－4

2

D．－p

解析：选B.当AB的斜率为k时，AB所在的直线方程为y＝k?x－?，代入y＝2px得：

?2?2

kp＋2px，1＋x2＝222

?

p?2

kx－(kp＋2p)x＋

222

kp4

??k＝0.根据根与系数的关系可得?pxx＝，??4

2

12

p??p?y1y2?y1y2＝k2?x1－??x2－?＝－p2，故＝－4.

2??2?x1x2?

y1y2

当AB斜率不存在时，即AB⊥x轴，易得＝－4.

x1x2

2

4．过抛物线y＝ax(a>0)的焦点F的直线交抛物线于P，Q两点，若线段PF与FQ的长

11

分别是p，q，则＋等于( )

pqA．2a C．4a

1 2a4D. B.a1122

解析：选C.设直线方程为y＝kx＋，代入y＝ax，得ax－kx－＝0.

4a4akx＋x＝，??a11111

由根与系数的关系可得?p＝y＋＝kx＋，q＝y＋＝kx＋，所以

4a2a4a2ap1

??xx＝－4a.1

2

1

1

2

2

12

2

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k2＋1a111

＋＝＋＝2＝4a. q11k＋1kx1＋kx2＋22a2a4a2

5．已知抛物线y＝x上有一定点A(－1，1)和两动点P、Q，当PA⊥PQ时，点Q的横坐

标的取值范围是( )

A．(－∞，－3] B．[1，＋∞) C．[－3，1] D．(－∞，－3]∪[1，＋∞)

22

解析：选D.设P(x0，x0)，Q(x，x)，其中x0≠－1，x≠x0， →→222

则PA＝(－1－x0，1－x0)，PQ＝(x－x0，x－x0)， 因为PA⊥PQ，

→→

所以PA·PQ＝0.

222

所以－(1＋x0)(x－x0)＋(1－x0)(x－x0)＝0， 即－1＋(1－x0)(x＋x0)＝0，

1

所以x＝－x0＋ 1－x01

＝(1－x0)＋－1，

1－x0

1

当x0<1时，1－x0＋≥2，当且仅当x0＝0时，等号成立．

1－x0

所以x≥2－1＝1；

1

当x0>1时，1－x0＋

1－x01

＝－[(x0－1)＋]≤－2，当且仅当x0＝2时，等号成立，

x0－1

所以x≤－2－1＝－3，

故点Q的横坐标的取值范围是(－∞，－3]∪[1，＋∞)．

2

6．将两个顶点在抛物线y＝2px(p>0)上，另一个顶点是此抛物线焦点的正三角形的个数记为n，则n＝________．

解析：根据抛物线对称性知正三角形的一边平行于y轴，又过焦点且与x轴的夹角为30°的直线有两条，故符合题意的正三角形有两个．

答案：2

→→2

7．已知点A、B是抛物线y＝4x上的两点，O是坐标原点，OA·OB＝0，直线AB交x→

轴于点C，则|OC|＝________．

?y1??y2?解析：设A、B的坐标分别为?，y1?、?，y2?， ?4??4?

y1y2→→

因为OA·OB＝0，所以·＋y1y2＝0，

44

y2－y1y24y211

即y1y2＝－16.AB所在的直线方程为y－y1＝22(x－)＝(x－)，

y2y14y1＋y24

4

2

1

21

2

2

22

－4

－y1y2－yy－y1y2

令y＝0，得x＝＋＝＝4.

444

答案：4

2

8．已知直线y＝k(x－2)(k>0)与抛物线y＝8x相交于A、B两点，F为抛物线的焦点，若|FA|＝3|FB|，则k的值为________．

解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，易知x1>0，x2>0，y1>0，y2<0.

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??y＝k（x－2），由?2 ?y＝8x，?

得kx－(4k＋8)x＋4k＝0， 所以x1x2＝4.① 又|AF|＝x1＋2，

|BF|＝x2＋2且|AF|＝3|FB|， 所以x1＝3x2＋4，②

2

由①②解得x2＝，

3

243

所以B(，－)，代入y＝k(x－2)得k＝3.

33

答案：3

2

9．已知M(3，y0)(y0>0)为抛物线C：y＝2px(p>0)上一点，F为抛物线C的焦点，且|MF|＝5.

(1)求抛物线C的方程；

(2)MF的延长线交抛物线于另一点N，求N的坐标．

解：(1)因为|MF|＝3＋＝5，所以p＝4，

22

所以抛物线方程为y＝8x.

(2)由题意知MF不垂直于x轴，故设MF所在直线方程为y＝k(x－2)，

??y＝k（x－2），2222

联立?2得kx－(4k＋8)x＋4k＝0，

??y＝8x，

24k由根与系数的关系得xM·xN＝2＝4，

2222

pk4

因为xM＝3，所以xN＝.

3

46

因为N为MF的延长线与抛物线的交点，由图像可知yN<0.所以yN＝－2pxN＝－，

3446

所以N(，－)．

33

10．已知动点M到点(4，0)的距离比它到直线l：x＝－3的距离多1. (1)求动点M的轨迹C的方程；

(2)求过点(4，0)且倾斜角为30°的直线被曲线C所截得线段的长度．

解：(1)由题意易知，动点M到点(4，0)的距离与到直线x＝－4的距离相等，故M点的

2

轨迹为以(4，0)为焦点，x＝－4为准线的抛物线，此抛物线方程为y＝16x.

3

(2)设直线与抛物线的交点为A，B，直线AB的方程为y－0＝ (x－4)，

3

即y＝

343x－， 33

??y＝3x－43，2

33将直线方程与抛物线方程联立?得x－56x＋16＝0， ??y2＝16x，

故xA＋xB＝56，

|AB|＝xA＋xB＋p＝56＋8＝64.

[B.能力提升]

22

1．已知抛物线y＝2px(p>0)的准线与圆x＋y－4y－5＝0相切，则p的值为( ) A．10 B．6

2

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1C. 8

D.

1 24

1222

解析：选C.抛物线方程可化为x＝y(p>0)，由于圆x＋(y－2)＝9与抛物线的准线y2p111＝－相切，所以3－2＝，所以p＝.

8p8p8

→→→→2

2．如图，F为抛物线y＝4x的焦点，A，B，C在抛物线上，若FA＋FB＋FC＝0，则|FA|＋|FB|＋|FC|＝( )

→→A．6 C．3

B．4 D．2

解析：选A.设A，B，C三点的横坐标分别为xA，xB，xC由FA＋FB＋FC＝0得xA＋xB＋xC

＝3，

所以|FA|＋|FB|＋|FC|＝xA＋＋xB＋＋xC＋＝3＋3＝6.

222

2

3．已知抛物线y＝4x的焦点为F，准线与x轴的交点为M，N为抛物线上的一点，且满

3

足|NF|＝|MN|，则∠NMF＝____________．

2

解析：过点N作准线的垂线交准线于点N1，则

|NN1||NF|3π

cos ∠NMF＝cos ∠N1NM＝＝＝，故∠NMF＝.

|MN||MN|26

→→→→→→ppp

π

答案： 6

→→2

4．已知抛物线C：y＝2x的焦点为F，抛物线C上的两点A，B满足AF＝2FB.若点

|TA|?1?T?－，0?，则的值为____________． |TB|?2?

→→

解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，(y1>0，y2<0)，因为AF＝2FB，所以AB是过焦点F的直11k22222

线，F(，0)，故AB的直线方程为y＝k(x－)，代入y＝2x，整理得：kx－(k＋2)x＋＝

224

2

k＋21

x1＋x2＝2，x1＋k21→→

0，由根与系数的关系得由AF＝2FB得＝2，即x1＝2x2＋，

121

x2＋x1x2＝，24

??

???

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