第三章 线性方程组

的一个解，试求

（1）该方程组的全部解，并用对应的齐次线性方程组的基础解系表示全部解； （2）该方程组满足x2?x3的全部解.

解 将(1,?1,1,?1)T代入线性方程组可得：???.考虑线性方程组的增广矩阵

__??1A?(Ab)??1?2??32??12?14??__10??1?经过行初等变换?0120????41???000?__?311??B

4??22??12??1???1（1）当??时，r(A)?r(A)?3，线性方程组有无穷多组解，此时

__?1?B???01??000??1001?311? 010?12??1?4??22??12??1???0012?10???12? 1?2?易见(?2,1,?1,2)T是其导出组的基础解系，故：

x?(1,?1,1,?1)T?k(?2,1,?1,2)T是方程组的通解；

当??12__ (k为任意常数）时，r(A)?r(A)?2，线性方程组有无穷多组解，此时

11110?10?11?1??22?22__???B??01311 01311

???????00000???00000??易见(1,?3,1,0),(?1,?2,0,2)是其导出组的基础解系，故：

TTx?(1,?1,1,?1)T?k1(1,?3,1,0)T?k2(?1,?2,0,2)T是方程组的通解；

（2）当??12 (k1,k2为任意常数）时，由x2?x3得：k1??3k1?2k2?1，因此k2??2k1?1，故方程组满足2x2?x3的全部解为

x?(?1,0,0,1)T?k1(3,1,1,?4)T当??12 (k1为任意常数）时，由x2?x3得：?1?k?1?k，因此k?1，故方程组满足x2?x3的解为

x?(1,?1,1,?1)T?(?2,1,?1,2)T?(?1,0,0,1)T

本题考查基础解系的计算与线性方程组的通解公式.

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?123???例3.27（05，9分）已知3阶矩阵A的第一行是(a,b,c),a,b,c不全为零，矩阵B?246 ????36k??（k为常数），且AB?0，求线性方程组Ax?0的通解.

解 若k?9，则由AB?0知(1,?2,3)T,(3,6,k)T是线性方程组Ax?0的两个线性无关的解向量，因此Ax?0的基础解系所含向量的个数?2，即3?r(A)?2可得：r(A)?1.但

A?0，因此r(A)?1，所以r(A)?1，从而(1,?2,3)T,(3,6,k)T构成线性方程组的基础解

系，故：

x?c1(1,2,3)T?c2(3,6,k)T是方程组的通解；

(c1,c2为任意常数）若k?9，则由AB?0知(1,?2,3)T是线性方程组Ax?0的解向量，因此Ax?0的基础解系所含向量的个数?1，即3?r(A)?1可得：r(A)?2.

如果r(A)?2，(1,?2,3)T构成线性方程组Ax?0的基础解系，故：

x?c(1,2,3)T是方程组Ax?0的通解；

(c为任意常数）如果r(A)?2，但A?0，因此r(A)?1，所以r(A)?1，于是Ax?0与线性方程组

ax1?bx2?cx3?0同解，不妨设a?0，则(?b,a,0)T,(?c,0,a)T构成线性方程组的基础解

系，故：

x?c1(?b,a,0)T?c2(?c,0,a)T是方程组Ax?0的通解；

(c1,c2为任意常数）

本题考查齐次线性方程组解的结构，基础解系的计算与齐次线性方程组的通解公式.

例3.28（07，11分）设线性方程组

?x1?x2?x3?0??x1?2x2?ax3?0 ?2?x1?4x2?ax3?0与方程

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x1?2x2?x3?a?1

有公共解，求a的值及所有公共解.

分析 问题等价于讨论非齐次线性方程组

?x1?x2?x3?0?x?2x?ax?0?123 ?2?x1?4x2?ax3?0?x?2x?x?a?123?1有解的条件，并在有解的条件下求出所有解.

解 我们考虑非齐次线性方程组

?x1?x2?x3?0?x?2x?ax?0?123 ?2?x1?4x2?ax3?0?x?2x?x?a?123?1它的增广矩阵

?1?1__A?(Ab)???1??1112a4a2210??1经过行初等变换?00????00???a?1??0__110?__1a?10???B

0(a?1)(a?2)0??01?aa?1?（1） 当a?2且a?1时，r(A)?3,r(A)?4，线性方程组无解； （2） 当a?2且a?1时，r(A)?r(A)?3，线性方程组有惟一解，此时

__?1?0__B???0??01111000?1T0??1?00?? ??00???1??0010000?01?? 1?1??00?故惟一的公共解为：x?(0,1,?1)；

（3）当a?1时，r(A)?r(A)?2，线性方程组有无穷多组解，此时

__?1?0__B???0??0T110010000??1?00?? ??00???0??0010010000?0?? 0??0?易见(?1,0,1)是其导出组的基础解系，故所有的公共解为：

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x?c(?1,0,1)T

(c为任意常数）本题考查线性方程组有解的条件，通解公式.

§3.2 线性相关与无关的例题

例3.29（北大教材，Ｐ159，2）设?1,?2,?,?r是一组线性无关的向量，?i?r?aj?1ji?j，

i?1,2,?,r.证明：?1,?2,?,?r线性无关的充分必要条件是

a11a21?ar1a12a22?ar2?a1r?a2r???arr?0

例3.30(北师大教材，P226，9)设在向量组?1,?2,?,?r中，?1?0且每一?i都不能表成它的前i?1个向量?1,?2,?,?i?1的线性组合.证明?1,?2,?,?r线性无关.

例3.31(北师大教材，P226，10)设向量?1,?2,?,?r线性无关，而?1,?2,?,?r,?,?线性相关.证明，或者?与?中至少有一个可以由?1,?2,?,?r线性表示，或者

?1,?2,?,?r,?与?1,?2,?,?r,?等价.

例3.32（98，4分）设A是n阶矩阵，若存在正整数k，使线性方程组Ax?0有解向量?，

k?1且A??0，证明：向量组?,A?,?A?是线性无关的.

k?1k

§3.3 求矩阵与向量组的秩及其极大无关组的例题

例3.33 求向量组

?1?(1,3,0,5),?2?(1,2,1,4),?3?(1,1,2,3),?4?(1,0,2,3),?5?(1,?3,6,?1),?6?(0,5,?3,3)

的秩和一个极大无关组，并将余下的向量用求出的极大无关组线性表出. 解

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