三角函数的图象与性质 (2019高考)数学分类汇总

第3讲 三角函数的图象与性质

一、选择题

1．函数f(x)＝2sin xcos x是( )． A．最小正周期为2 π的奇函数 B．最小正周期为2 π的偶函数 C．最小正周期为π的奇函数 D．最小正周期为π的偶函数

解析 f(x)＝2sin xcos x＝sin 2x.∴f(x)是最小正周期为π的奇函数． 答案 C

??ππ??

2．已知函数f(x)＝sin(x＋θ)＋3cos(x＋θ)?θ∈?－2，2??是偶函数，则θ的值为

????

( )．

A．0

π

B.6

π

C.4

πD.3 π?π?

解析 据已知可得f(x)＝2sin?x＋θ＋3?，若函数为偶函数，则必有θ＋3＝kπ

??ππππ?ππ?＋2(k∈Z)，又由于θ∈?－2，2?，故有θ＋3＝2，解得θ＝6，经代入检验符??合题意． 答案 B

?ππ?3．函数y＝2sin?6x－3?(0≤x≤9)的最大值与最小值之和为

??A．2－3

B．0

C．－1

D．－1－3

( )．

πππ7π3?ππ?

解析 ∵0≤x≤9，∴－3≤6x－3≤6，∴－2≤sin?6x－3?≤1，∴－3

???ππ??πxπ?x－≤2sin?63?≤2.∴函数y＝2sin?6－3?(0≤x≤9)的最大值与最小值之和为2????－3. 答案 A

4．函数f(x)＝(1＋3tan x)cos x的最小正周期为( )．

A．2π B.

3ππ C．π D. 22

π??

解析 依题意，得f(x)＝cos x＋3sin x＝2sin?x＋?.故最小正周期为

6??2π. 答案 A

5．函数y＝sin2x＋sin x－1的值域为( )． A．[－1,1] ?5?

C.?－，1? ?4?

?5?B.?－，－1? ?4?5??－1，? D.?

4??

解析 (数形结合法)y＝sin2x＋sin x－1，令sin x＝t，则有y＝t2＋t－1，

t∈[－1,1]，画出函数图像如图所示，从图像可以看出，当t＝－及t＝1?5?

时，函数取最值，代入y＝t2＋t－1可得y∈?－，1?.

?4?

12

答案 C

π5π

6．已知ω>0,0<φ<π，直线x＝4和x＝4是函数f(x)＝sin(ωx＋φ)图象的两条相邻的对称轴，则φ＝ πA.4

π

B.3

( )．

π

C.2 3πD.4 ?5ππ?解析 由题意可知函数f(x)的周期T＝2×?4－4?＝2π，故ω＝1，∴f(x)＝sin(x

??πππ

＋φ)，令x＋φ＝kπ＋2(k∈Z)，将x＝4代入可得φ＝kπ＋4(k∈Z)，∵0<φ<π，π∴φ＝4. 答案 A 二、填空题

7．定义在R上的函数f(x)既是偶函数又是周期函数，若f(x)的最小正周期是π，π???5π?0，??且当x∈时，f(x)＝sin x，则f?3?的值为________． ?2???π3?5π??π??π?

解析 f?3?＝f?－3?＝f?3?＝sin 3＝2.

??????3

答案 2 π??

2sin?x＋?＋2x2＋x4??

8．函数f(x)＝的最大值为M，最小值为m，则M＋m＝

2x2＋cos x________.

解析 (构造法)根据分子和分母同次的特点，把分子展开，得到部分分式，

f(x)＝1＋＝2. 答案 2

x＋sin x，f(x)－1为奇函数，则m－1＝－(M－1)，所以M＋m2x2＋cos x11

9．已知函数f(x)＝2(sin x＋cos x)－2|sin x－cos x|，则f(x)的值域是________． 11

解析 f(x)＝2(sin x＋cos x)－2|sin x－cos x| ?cos x?sin x≥cos x?，＝? ?sin x?sin x

2

画出函数f(x)的图象，可得函数的最小值为－1，最大值为2，故值域为?2??－1，?.

2??

?2?

答案 ?－1，?

2??10．下列命题中：

π

①α＝2kπ＋3(k∈Z)是tan α＝3的充分不必要条件； ②函数f(x)＝|2cos x－1|的最小正周期是π；

③在△ABC中，若cos Acos B>sin Asin B，则△ABC为钝角三角形； π

④若a＋b＝0，则函数y＝asin x－bcos x的图象的一条对称轴方程为x＝4. 其中是真命题的序号为________． π

解析 ①∵α＝2kπ＋3(k∈Z)?tan α＝3， π

而tan α＝3?/ α＝2kπ＋3(k∈Z)，∴①正确． ②∵f(x＋π)＝|2cos(x＋π)－1|

＝|－2cos x－1|＝|2cos x＋1|≠f(x)，∴②错误．

③∵cos Acos B>sin Asin B，∴cos Acos B－sin Asin B>0， π

即cos(A＋B)>0，∵0

?π?y＝asin x－bcos x＝asin x＋acos x＝2asin?x＋4?，

??π

∴x＝4是它的一条对称轴，∴④正确． 答案 ①③④ 三、解答题

11. 已知函数f(x)＝2sinxcosx－2sin2x＋1. (1)求函数f(x)的最小正周期及值域； (2)求f(x)的单调递增区间．

π??

解 (1)f(x)＝sin2x＋cos2x＝2sin?2x＋?，

4??则函数f(x)的最小正周期是π， 函数f(x)的值域是[－2，2]. (2)依题意得2kπ－

πππ

≤2x＋≤2kπ＋(k∈Z)， 242