2007-2012年湖州市（期望杯）初三数学竞赛试题和答案

17．如图，等腰直角三角形纸片ABC中，AC＝BC＝4，

得 分 ∠ACB＝90o，直角边AC在x轴上，B点在第二象限，已知

评卷人 A（1，0），AB交y轴于E，将纸片过E点折叠使BE与EA所在直线重

合，得到折痕EF（F在x轴上），再展开还原沿EF剪开得到四边形 BCFE，然后把四边形BCFE从E点开始沿射线EA平移，至B点到达A点停止.设平移时间为t（s），移动速度为每秒1个单位长度，平移中四边形BCFE与△AEF重叠的面积为S. （1）求折痕EF的长；

（2）是否存在某一时刻t使平移中直角顶点C经过抛物线y?x?4x?3的顶点？若存在，求出t值；2若不存在，请说明理由；

（3）直接写出．．．．S与t的函数关系式及自变量t的取值范围.

B y B1 E E1

C F O A x C1 F1

18．如图的格点图中，每行（列）相邻两个格点之间都相距1（1）如图，格点C与格点A、B构成的三角形ABC的面积是

B格点与格点A、B构成的三角形面积也是2，请找出所有并在图上标示出来。

C

A9

个长度单位。 2，还有一些这样的格点，

（2）有些格点与格点A、B可以构成等腰三角形ABD，请

样的格点D，并在图中标出。

（3）问题（2）所得到的等腰三角形中有没有等边三角形？标示出来；如没有，思考：在下面的8*8格点图中，是否存顶点的等边三角形，如果存在，请标示出来，如果不存在，般地，对于任意大的格点图（如100*100个点的格点图），否成立？

（4）问题（2）所得到的等腰三角形中有没有以AB为腰的等腰直角三角形，有没有以AB为底的等腰直角三角形？一般地，在充分大的格点图中，对于任意给定的两个格点，是否一定存在以这两个格点所在线段为腰的等腰直角三角形？如果一定有，说明你的构造方法；如果不一定有，思考：对于什么样的两点（即两点的坐标之间满足什么条件时）有。在充分大的格点图中，对于任意给定的两个格点，是否一定存在以这两个格点所在线段为底的等腰直角三角形？如果一定有，说明你的构造方法；如果不一定有，思考：对于什么样的两点（即两点的坐标之间满足什么条件时）有？

B你找出所有这

A如有，将它们在以格点为说明理由，一这个结论是

10

2008年初三数学数学竞赛试题参考答案及评分建议

一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分） 1 2 3 4 5 题次 答案 B D A D B 二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分） 9．52O 10．

6 D 7 C 8 C 3 211．25 12．49 13．-4 14.2或3

三、解答题（共4题，分值依次为12分、12分、12分和14分，满分50分） 15．(12分)

解：题中等式可化为 2x?2x?a?4?0 ①

（1）当方程①有两个相等的实数根时， △V?4?4?2?(a?4)?0，--------（2分）

2711，此时方程①有一个根x??，验证可知x??的确满足题中的等式 2227当方程①有两个不相等的实数根时，??4?4?2?(a?4)?0，由此得a??（2分）

2由此得a1??（2）若x?1是方程①的根，则原方程有增根x?1，代入①解得a2??8，此时方程①的另一个根x??2，它确也满足题中的等式； （4分）

（3）若x??1是方程①的根，则原方程有增根x??1，代入①解得a3??4，此时方程①的另一个根x?0，验证可知x?0确满足题中的等式； （2分） 因此a1??731，a2??8，a3??4即为所求，且a1?a2?a3??（2分） 2216．(12分)

作⊙O直径CE．连结AE、BE

四边形BHAE为平行四边形．故线段AB与EH互相平分． 又由题设知M为AB的中点．且点D在MH的延长线上． 于是点E、M、H、D在同一直线上 ．因为CE为⊙O直径，

所以．∠EDC=90°．故HD⊥CD．

17

11

18．（1）C1、C2、C3、C4，如图：

CBCCAC（答对一个给0.5分）

（2）D1、D2、D3、D4 等9点，如图：

DBAD （答对一个给0.5分）

（3）问题（2）所得到的等腰三角形中没有等边三角形。在8*8格点图乃至任意大的格点图中，都没有格点为顶点的等边三角形。(2分)

说理方式很多，如可以将其中一个顶点选为坐标原点，分析另外两个顶点坐标的奇偶性，分别给予排除；也可以将其中一个顶点选为坐标原点后，分别设另两个顶点的坐标为（a,b）,(c,d),证明a2+b2=c2+d2=(a-c)2+(b-d)2无整数解。(2分)

12