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数论余数部分练习题
【1】1013除以一个两位数得到的余数为12，这个两位数有 种可能的取值． 【分析】根据题意可知，这个两位数是1013?12?1001的约数，而且大于12； 由于1001?7?11?13，两位数约数有11、13、77、91，其中11不满足，所以这个两位数有3种可能的取值．
【2】（2009年第七届走美六年级初赛）1234567891011121314……20082009除以9，商的个位数字是 。
【分析】首先看这个多位数是否能为9整除，如果不能，它除以9的余数为多少。 由于任意连续的9个自然数的和能被9整除，所以它们的各位数字之和能被9整除，那么把这9个数连起来写，所得到的数也能被9整除。
由于2009?9?2232，所以1234567891011121314…20082009这个数除以9的余数等于20082009（或者12）除以9的余数，为3.
那么1234567891011121314…20082009除以9的商，等于这个数减去3后除以9的商，
即1234567891011121314…20082006除以9的商，那么很容易判断商的个位数字为4.
【3】（第六届小学“希望杯”全国数学邀请赛）有一列数：1，3，9，25，69，189，517，…其中第一个数是1，第二个数是3，从第三个数起，每个数恰好是前面两个数之和的2倍再加上1，那么这列数中的第2008个数除以6，得到的余数是 ． 【分析】这列数除以6的余数有以下规律：1，3，3，1，3，3，1，3，3，…，因为
2008?6?6691，所以第2008个数除以6余1．
【3】(2008年101中学考题)22008?20082除以7的余数是 ．
20083?669＋13?(23)669?2，【分析】2?8除以7的余数为1，2008?3?669?1，所以2?2其除以7的余数为：1669?2?2；2008除以7的余数为6，则20082除以7的余数等于
62除以7的余数，为1；所以22008?20082除以7的余数为：2?1?3．
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【4】(第六届走美决赛六年级试题)M,N为非零自然数，且2007M?2008N被7整除．M?N的最小值为
【分析】 2007?5(mod7)
20072?52(mod7)?4(mod7)
20073?53(mod7)?4?5(mod7)?6(mod7) 20074?54(mod7)?6?5(mod7)?2(mod7) 20075?55(mod7)?2?5(mod7)?3(mod7)
20076?56(mod7)?3?5(mod7)?1(mod7) 20077?57(mod7)?1?5(mod7)?5(mod7)
因此2008N除以7的余数为5，4，6，2，3，1，六个一循环
同理，1两个一循环，因此2007M?2008N被7整除，2007M除以7的余数与
2008N除以7的余数的和为7，又要求M?N最小，M?N的最小值为
3?2?5
【5】有一个自然数，用它分别去除63，90，130都有余数，3个余数的和是25．这3个余数中最大的一个是多少？
【分析】由于这三个数除以这个自然数后所得的余数和为25，所以63、90、130的和除以这个自然数后所得的余数为25，所以63?90?130?25?258能被这个自然数整除.258=2×3×43,显然当除数为2、3、6时，3个余数的和最大为3??2?1??3，
3??3?1??6，3??6?1??15，所以均不能满足条件.
当除数为43×2、43×3、43×6时，它除63的余数均是63，所以也不满
足．那么除数只能是43，它除63，90，130的余数依次为20，4，1，余数的和为25，满足，其中最大的是20．
【6】甲、乙、丙三数分别为603，939，393．某数A除甲数所得余数是A除乙数所得余数的2倍，A除乙数所得余数是A除丙数所得余数的2倍．求A等于多少？ 【分析】设这个数为M，则603?M?A1 939?M?A2 393?M?A3r1 r2
r3
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r1?2r2,r2?2r3,要消去余数r1,r2,r3,我们只能先把余数处理成相同的，再两数相减．
这样我们先把第二个式子乘以2，这样被除数和余数都扩大2倍，同理，第三个式子乘以4．
这样我们可以得到下面的式子：
603?M?A1r1
?939?2??M?2A22r2
?393?4??M?2A34r3
这样余数就处理成相同的．最后两两相减消去余数，意味着能被整除． 93?9?2
，36?0393?4?603?969，
317?127569?． 51??,9? 经检验A等于17．
【7】有一类四位数，它们恰好是自己的各位数字之和的83倍，那么这样的四位数有 个．
【分析】因为原四位数恰好是自己的数字和的83倍，而一个数除以9的余数与它的数字和除以9的余数相等，那么这个数与它的数字和的差就是9的倍数，所以本题中原四位数减去它的数字和后(即数字和的82倍)是9的倍数；而?82,9??1，所以数字和是9的倍数，原数是83?9?747的倍数，
又因为是原数是四位数，各位数字之和最多为36，所以原数至多是83的36倍，也就是至多是747的4倍．
依次检验：747?2?1494符合，而747?3?2241和747?4?2988均不符合． 所以满足条件的四位数只有1个．
【8】一个大于10的数，除以3余1，除以5余2，除以11余7，问满足条件的最小自然数是多少？【分析】法一：仔细分析可以发现3?2?1?5?2?7，所以这个数可以
看成被3、5、11除余7，由于?3,5,11??165，所以这个数最小是165?7?172．
法二：事实上，如果没有“大于10”这个条件，7即可符合条件，所以只需要在7的基础上加上3、5、11的最小公倍数，得到172即为所求的数．
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【9】一个小于200的自然数，被7除余2，被8除余3，被9除余1，这个数是多少？
【分析】 注意到7?2?8?3?5，也就是说该数加上5以后可被7和8整除，也就是56的
倍数．
这个数又小于200，因此这个数只可能是56?5，56?2?5，56?3?5， 经检验发现只有56?3?5?163被9除余1符合要求，因此该数为163．
【10】有连续的三个自然数a、a?1、a?2，它们恰好分别是9、8、7的倍数，求这三个自然数中最小的数至少是多少？
【分析】仔细观察，可知由于a、a?1、a?2恰好分别是9、8、7的倍数，那么a?9、
a?1?8、a?2?7也分别是9、8、7的倍数，即a?9是9、8、7的公倍数，那么
a?9的最小值是9?8?7?504，即a至少是504?9?495．
【11】一个自然数被5、6、7除时余数都是1，在10000以内，这样的数共有多少个？ 【分析】一个自然数被5、6、7除余数都是1，那么这个自然数与1的差能被5、6、7都整除．因此这样的自然数就是由5、6、7的公倍数再加1组成的，其中最小的一个是5、6、7的最小公倍数210再加1，即211．然后依次加上210，就得到所有这样的自然数．这些自然数恰好构成首项是211，公差是210的一个等差数列．由于
210?47?1?9871不超过10000，而210?48?1?10080大于10000．所以在10000以内
被5、6、7除时余数是1的自然数中最大值是201?47?1，这样满足条件的自然数共有47个．
说明：值得注意的是，1被5、6、7除时商数都是零，余数都是1．因此也可以认为1是被5、6、7除余数都是1的自然数．这样本题的答案应该是48．
【12】有三个连续自然数，其中最小的能被15整除，中间的能被17整除，最大的能被19整除，请写出一组这样的三个连续自然数．
【分析】设三个连续自然数中最小的一个为n，则其余两个自然数分别为n?1，n?2．
依题意可知：15|n，17|?n?1?，19|?n?2?，根据整除的性质对这三个算式进行变换：
15|n?15|2n?15|?2n?15???17|?n?1??17|?2n?2??17|?2n?15???[15,17,19]|?2n?15? 19|?n?2??19|?2n?4??19|?2n?15???从上面可以发现2n?15应为15、17、19的公倍数．
由于[15,17,19]?4845，所以2n?15?4845?2k?1?(因为2n?15是奇数)，可得
n?4845k?2415．
成都学而思教研组
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