(新课改地区)2021版高考数学一轮复习第二章函数及其应用2.2函数的单调性与最值练习新人教B版

2.2 函数的单调性与最值

核心考点·精准研析

考点一 函数的单调性(区间)

1.下列函数中,在区间(-∞,0)上是减函数的是 A.y=1-x

2

( )

B.y=x+2x

2

C.y=-

2

D.y=

2.函数f(x)=ln(x-2x-8) 的单调递增区间是 ( ) A.(-∞,-2) C.(1,+∞)

B.(-∞,1) D.(4,+∞)

3.设函数f(x)在R上为增函数,则下列结论一定正确的是 ( ) A.y=

在R上为减函数

B.y=|f(x)|在R上为增函数 C.y=-在R上为增函数

D.y=-f(x)在R上为减函数

4.设函数f(x)=g(x)=xf(x-1),则函数g(x)的递减区间是( )

2

A.(-∞,0] C.[1,+∞)

B.[0,1) D.[-1,0]

【解析】1.选D.对于选项A,该函数是开口向下的抛物线,在区间(-∞,0]上是增函数;对于选项B,该函数是开口向上的抛物线,在区间(-∞,-1]上是减函数,在区间[-1,+∞)上是增函数;对于选项C,在区间(-∞,0]上是增函数;对于选项D,因为y=上为减函数.

2.选D.函数有意义,则x-2x-8>0,解得:x<-2或x>4,结合二次函数的单调性和复合函数同增

2

=1+.易知其在(-∞,1)

1

异减的原则,可得函数的单调增区间为(4,+∞). 3.选D.特例法:设f(x)=x,则y=

=的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),在定义域上无单调

性,A错;则y=|f(x)|=|x|在R上无单调性,B错;则y=-=-的定义域为(-∞,0)∪(0,+

∞),在定义域上无单调性,C错.y=-f(x)=-x在R上为减函数,所以选项D正确.

4.选B.因为g(x)=

作出函数图象如图所示,

所以其递减区间为[0,1).

判断函数单调性的方法

(1)定义法:取值→作差→变形→定号→结论.

(2)图象法:从左往右看,图象逐渐上升,单调递增;图象逐渐下降,单调递减. (3)利用函数和、差、积、商和复合函数单调性的判断法则. (4)导数法:利用导函数的正负判断函数单调性. 其中(2)(3)一般用于选择题和填空题. 考点二 函数的最值(值域)

【典例】1.函数y=

的值域是________.

2.函数y=x+的最小值为________.

3.已知函数f(x)=-(a>0,x>0),若f(x)在上的值域为,则a=________. 【解题导思】

序号

联想解题

2

1 由,想到分离常数 2 由x+,想到利用函数的单调性或换元法求解 3 由-,想到反比例函数的单调性 【解析】1.(分离常数法)因为y==-1+,又因为1+x≥1,所以0<

2

≤2,所以

-1<-1+≤1,所以函数的值域为(-1,1].

答案:(-1,1]

2.方法一:因为函数y=x和y=在定义域内均为增函数,故函数y=x+在其定义

域[1,+∞)内为增函数,所以当x=1时y取最小值,即ymin=1.

方法二:令t=

2

,且t≥0,则x=t+1,

2

所以原函数变为y=t+1+t,t≥0.

配方得y=+,

又因为t≥0,所以y≥+=1.

故函数y=x+答案:1

的最小值为1.

3.由反比例函数的性质知函数f(x)=-(a>0,x>0)在上单调递增,

所以即解得a=.

3

答案:

求函数最值的常用方法

(1)单调性法:先确定函数的单调性,再利用单调性求最值.

(2)图象法:先作出函数的图象,再观察其最高点、最低点,求出最值.

(3)换元法:对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数,再用相应的方法求最值. (4)分离常数法:对于分式的分子、分母中都含有变量的求值域,变成只有分子或分母有变量的情况,再利用函数的观点求最值.

(5)基本不等式法:先对解析式变形,使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值.

1.若函数f(x)=A.(-∞,2) C.[0,+∞)

B.(-∞,2] D.(-∞,0)∪(0,2)

x

则函数f(x)的值域是 ( )

【解析】选A.当x<1时,0<2<2, 当x≥1时,f(x)=-log2x≤-log21=0, 综上f(x)<2,即函数的值域为(-∞,2). 2.函数y=

的值域为________.

【解析】y===3+,

因为≠0,所以3+≠3,

所以函数y=答案:{y|y≠3}

的值域为{y|y≠3}.

3.函数f(x)=-log2(x+2)在区间[-1,1]上的最大值为________.

4