高二数学空间向量及运算人教版

高二数学空间向量及运算人教版

【本讲教育信息】

一. 教学内容：

空间向量及运算 二. 教学目标：

1. 理解空间向量的概念，掌握空间向量的加法、减法和数乘运算。 2. 了解空间向量基本定理。

3. 掌握空间向量的数量积的定义及其性质的应用。 三. 重点、难点：

重点：空间向量的基本定理，数量积。 难点：应用向量解决一些立体几何问题。 四. 重要知识点： 1. 共线向量定理：

??????? 对空间任意两个向量a、b(b?0)，a//b?存在??R，使a??b.

2. 共面向量基本定理：

?????若a，b不共线，则向量p与向量a、b共面?存在实数x、y，使???p?xa?yb.

3. 空间向量基本定理：

????若a、b、c不共面，那么对空间任一向量p，存在一个唯一的有序实????数组x、y、z，使p?xa?yb?zc.

4. 两空间向量的数量积：

?????? a·b?|a||b|cos?a，b?

性质：

????? （1）a·e?|a|cos?a，e? ???? （2）a?b?a·b?0 ?2?? （3）|a|?a·a

运算律：

???? （1）(?a)·b??(a·b)???????（3）a(b?c)?a·b?a·c

????（2）a·b?b·a

【例题】

?????? 例1. 已知a、b、c两两之间的夹角为60°，模都为1，求|a?b?2c|.

??? 例2. 若OA、OB、OC互相垂直，求证?ABC为锐角三角形。

O A C B

例3. 已知在平行六面体ABCD—A’B’C’D’中，AB=AD=3，AA’=5，∠BAD=90°，∠BAA’=∠DAA’=60°。

（1）求证AC’⊥BD； （2）AC’的值。

D’ C’ A’ B’ D C A B

【练习】

基础巩固题

1. 给出下列命题：

（1）a=“从南昌往正北平移6km”，b=“从北京往正北平移3km”，那么a=2b； （2）(a?b)??c??(a?d)?b?(1??)a??(c?d)(??R)；

（3）把正方形ABCD平移向量m到A'B'C'D'的轨迹所形成的几何体，叫做正方体；

?? （4）有直线l，且l//b，在l上有点B，若AB?CA?2b，则C?l。

其中正确的命题是（ ） A. （1）（2） B. （3）（4） C. （1）（2）（4） D. （1）（2）（3）

? 2. 在长方体ABCD—A1B1C1D1中，下列关于AC1的表达式中错误的是（ ） ??? A. AA1?A1B1?A1D1 ??? B. AB?DD1?D1C1 ??? C. AD?CC1?D1C1

??1? D. (AB1?CD1)?A1C1

2???????????? 3. 空间任意四个点A、B、C、D，则BA?CB?CD等于 （ ）

???????????????? A．DB B．AD C．DA D．AC

??????????????????? 4．在空间四边形ABCD中，若AB?a，BD?b，AC?c，则CD等于 （ ）

???????????? A．a?(b?c) B．c?(b?a) C．a?b?c D．b?(c?a)

5. 如图所示，已知空间四边形每条边和对角线长都等于a，点E、F、G分别是AB、AD、DC的中点，则a2是下列哪个向量的数量积？（ ）

?? A. 2BA·AC ?? C. 2FG·CA

??B. 2AD·BD ??D. 2EF·CB

A E F B D G C

6. 已知a，b是异面直线，A，B?a，C，D?b，AC?b，BD?b，且AB?2，CD=1，则a与b所成的角是（ ）

A. 30° B. 45°

C. 60° 强化提高题

D. 90°

7. 已知正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为3，M是CC1上一点且|CM|?1，N是DD1上

???一点且|DN|?2，P为CA1的中点，则|MN|?|PM|?|PN|?_______。

8. 长为4的向量a与单位向量e的夹角为

2?，则向量a在向量e方向上的投影向量为3___________。

9. 在空间平移正△ABC到△A1B1C1得到如图所示的几何体。若D是AC的中点。AA1⊥平面ABC，AA1：AB?2：1，则异面直线AB1与BD所成的角是__________。

A A1 D C1 C B B1

10．棱长为1的正方体中,E,F分别是DD1,DB的中点,G在棱CD上,且

1CG=CD,H是C1G的中点.

3

(1) 证明:EF ?B1C. (2) 求cos?EF,C1G?.

D1A1EB1HC1 (3) 求FH的长.

DFABGC