第5章点的合成运动习题解答080814

水平面上滑动，长为2r的直杆 OA可绕O轴转动。求图示瞬时A点的速度与加速度，并求OA杆的角速度与角加速度。

解：OA杆的A点为动点，凸轮为动系，它做平移.

（1）速度分析. ve?v0，根据va?ve?vr作速度平行四边形， 由正弦定理得

vevavr?? ， sin?sin180??30???sin30???解得 vA?va?2v0v0，vr?，其中?角由正弦定理

cot??33sin??cos?2rr?， sin?sin30?求得，??45，从而vA??2v0?1?3?3?1v0. ?OA??vA?OA23?1v0, (逆时针).

2r?? vr?22?3?1v0.

nr?2vr2v0?2?3（2） 加速度分析. ae?0，a?， rr??2va2v0a??22?3.根据牵连运动为平移时的加速度合成定理

r2rna??

aan?aat?aen?aet?arn?art

tnn 向凸轮的法向轴?列投影式，aacos??aasin???ar，其

中??60???15. 解得

22v0aatv0??2?32， a??22?3， ?OA?rrOAta??????（顺时针）.

5-11 如图所示，带滑道的圆轮以等角速度?0绕O轴转动，滑块A可在滑道内滑动，已知

OO1?l，在图示瞬时，OA?OO1，且OA?b，试求此瞬时：（1）滑块相对于圆轮的速度和

加速度；（2）曲柄O1A的角速度及角加速度。

解： 取O1A杆的A点为动点，圆轮为动系，它作定轴转动.

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题5-11图

（1） 速度分析.ve?b?0 ，va?l?O1A.由va?ve?vr，经过速度合成图分析可以看出 va?其中 sin??ve,vr?vecot?. sin?bb2?l2,cot??l，代入上式，得 b va??0b2?l2，vr?l?0. 曲柄O1A的角速度?O1A?nava??0，顺时针方向. O1A22（2）加速度分析.a?b?l?2O1A??20b?l，a?b?22ne

20，ac?2?0vr?2l?20，由牵连

运动为定轴转动时的加速度合成定理 影

naa?aat?aen?aet?ar?ac，分别向水平和铅垂轴投

tnntn ?aasin??aacos??ac，aacos??aasin??ae?ar

l22l222解得：a???0b?l，ar???0.(方向向上).

bbta 曲柄O1A的角加速度 ?OA1aatl2，(逆时针). ????0O1Ab5-12 如图所示杆O1A绕O1轴以等角速度?1转动，连杆一端的滑块B以等速v0沿滑槽运动，AB杆长为l.试求图示瞬时AB杆的角速度和角加速度.

解： 若以A点为动点，AB为动系，则A点作合成运动。但AB杆作平面运动，平面运动刚体上点的速度和加速度分析要在第六章中学习，因此，这题我们用第四章讲述的方法解。 设在任意位置，杆AB和杆O1A与水平线夹角分别为

题5-12图

???1t,??t?，O1B?xB?t?，如图示。按正弦定理得

xB?sin?????l， (a)

sin?

上式等号两边同时对时间求导，注意到

???1,x?B??v0,????30?， (b) ?得

??2???AB??1v0，（顺时针）. l10

???0,??B?0，得 x （a）式等号两边同时对时间求2次导，注意到（b）式和??AB2?2?v0v0?，顺时针. ?3?8?1?8?1?2??ll??5-13如图所示，杆OA绕定轴O转动，圆盘绕动轴A转动。一直杆长l?0.2m，圆盘半径r?0.1m，在图示位置，杆的角速度和角加速度为??4rad/s，??3rad/s2，圆盘相对于杆OA的角速度和角加速度为?2r?6rad/s，?r?4rad/s。求圆盘上M1和M2点的绝对速度及绝对加速度。 解：

（1）动点：圆盘上M1点；动系： OA杆。

则OA延长线与M1重合的点m1为牵连点。可得 ve???Om1?4?0.3?1.2m/s，

方向为垂直Om1逆时针方向。又 vr??r?r?6?0.1?0.6m/s, 方向与ve平行而反向。

?va?ve?vr?1.2?0.6?0.6m/s, 方向与ve相同。

M1点的加速度合成图如图b) ，其中

an2e???Om1?42?0.3?4.8m/2s；

anr??2r?r?3.6m/s2；

atr??r?r?0.4m/s2,ate???Om1?0.9m/s2,a2C?2?vr?4.8m/s.

由牵连运动为定轴转动时的加速度合成定理

an?anta?atae?ae?anr?atr?ac，

得 annan2ttt2a?ae?r?ac?3.6m/s,aa?ae?ar?0.5m/s

?an2t22a??aa???aa??3.63m/s

(2) 动点：圆盘上M2点；动系： OA杆。

题5-13图

b）M1点的加速度合成图

M2点的速度合成图

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M2点的加速度合成图

OA杆的刚性延伸，与M2点重合的m2点为牵连点，有 vr??r?r?0.6m/s,ve???OM2?0.894m/s，

?速度合成图如图示，图中??arctan?2??63.43 由速度合成定理得 va?2??veco?s?vr???vesin??2?0.824m/s.

作M2点的速度合成图如图示，其中 ar??r?r?6?0.1?3.6m/s,n2222arτ??r?r?0.1?4?0.4m/s,

naC?2?vr?4.8m/s2，ae??2?Om2?1.65m/s2,aeτ???Om2?0.35m/s2.

加速度合成定理

naax?aay?ae?aet?arn?art?ac，得

aax?aensin??aetcos??art?3.30m/s2，

2m/s，

yntn aa?aecos??aesin??ar?ac?1.00由勾股定理，得 aa?3.45m/s2.

5-14图示圆盘绕水平轴AB转动，角速度为??2trad/s，盘上M点沿半径方向槽按

?r?OM?40t2的规律运动（r单位为mm，t单位为s）。OM与AB轴成60倾角。求当t?1s

时，M点的绝对加速度的大小。

?在t?1时刻取值，得到M点在该瞬时?,?r?和?,?解： 取点M为动点，圆盘为动系，计算 r,r的位置，相速度和相对加速度：

r?40mm,vr?80mm/s,ar?80mm/s2，

以及圆盘在该瞬时的角速度，角加速度：

??2rad/s,??2rad/s2

取O?xyz坐标系如图示，O?yz与盘面重合，且

y轴为转轴，x垂直盘面. 对点M作加速度分析如图，

加速度合成定理为

naa?ae?aet?ar?ac，

题5-14图

其中

ae?r?sin60??403mm/s2，与x轴同向平行；

nae?r?2sin60??803mm/s2，与z轴反向平行；

τac?2?vrsin60??1603mm/s2，与x轴同向平行；

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