第5章点的合成运动习题解答080814

第五章 点的合成运动

本章要点

一、绝对运动、相对运动和牵连运动

一个动点，

两个参照系： 定系，动系；

三种运动：绝对运动、相对运动和牵连运动， 包括三种速度：绝对速度、相对速度和牵连速度； 三种加速度：绝对加速度、相对加速度和牵连加速度；

牵连点：动参考系上瞬时与动点相重合的那一点称为动参考系上的牵连点。 二、速度合成定理

动点的绝对速度，等于它在该瞬时的牵连速度与相对速度的矢量和，即

va?ve?vr

解题要领

1 定系一般总是取地面，相对定系运动的物体为动系，动点不能在动系上. 2 牵连速度是牵连点的速度.

3 速度合成定理中的三个速度向量，涉及大小方向共六个因素，能且只能存在两个未知数方能求解，因此，至少有一个速度向量的大小方向皆为已知的.

4 作速度平行四边形时，注意作图次序：一定要先画大小方向皆为已知的速度向量，然后再根据已知条件画上其余两个速度向量，特别注意，绝对速度处于平行四边形的对角线位置. 5 用解三角形的方法解速度合成图. 三、加速度合成定理

1 牵连运动为平移时的加速度合成定理

当牵连运动为平移时，动点的绝对加速度等于牵连加速度与相对加速度的矢量和，即

aa?ae?ar，

当点作曲线运动时，其加速度等于切向加速度和法向加速度的矢量和，因此上式还可进一步写成

naat?aa?aet?aen?art?arn

dvadvedvrva2ve2vr2ttnnn其中 a?，aa?，ae?，ae?，ar?，ar?，?a,?e,?r依次为绝

dtdtdt?r?a?eta对轨迹、牵连轨迹和相对轨迹的曲率半径。

1

解题要领

1牵连运动为平移时的加速度合成定理只对“牵连运动为平移时”成立，因此，判定牵连运动是否为平移至关重要.

2 牵连运动为平移时的加速度合成定理涉及的三个加速度，每一加速度都可能有切向和法向加速度。但是，法向加速度只与速度有关，因此，可以通过速度分析予以求解，从而在此处是作为已知的。剩下的三个切向加速度的大小方向共有六个因素，能且只能有2个未知量时方可求解。

3 因加速度合成定理涉及的矢量较多，一般不用几何作图的方法求解，而是列投影式计算，千万不能写成“平衡方程”的形式。

4 在加速度分析中，因动点和动系的选择不当而出现了一种似是而非的分析过程。教材中例5.3.5的一个典型错误解法如下：

例：半径为r的半圆凸轮移动时，推动靠在凸轮上的杆OA绕O轴转动，凸轮底面直径DE的延长线通过O点，如图所示。若在??30?的图示瞬时位置，已知凸轮向左的移动速度为u，加速度为a且与u反向，求此瞬时OA杆的角速度?与角加速度?。

（a）

(b)

“解”：取OA杆上与凸轮相接触的B点为动点，动系固结在凸轮上。设OA杆的角 速度和角加速度分别为? 和?。

1）速度分析：

根据速度合成定理，可画出速度平行四边形如图所a示。由几何关系可得

31u va?vesin30??u, vr?vecos30??22方向如图所示。由此可求得OA杆在图示瞬时的角速度为

ω?转向如图所示。

2） 加速度分析：

va1u3u， ??OBrctg30?26r根据牵连运动为平移时的加速度合成定理，有

2

aat?naa?2ae?art?arn

vr2 大小： OBα？ OB? a ？

BC 方向： ?OA 指向O点 ← ?BC 指向C点

加速度矢量关系图如图b所示。在这个矢量关系式中，各加速度分量的大小、方向共有十个要素，已知八个要素，可以求解。将图示的加速度矢量关系向CB方向投影，得

vaa??aesin30?a??asin30????BC2ta?nr?2r??a3u2?3u/2???????， r24r???2aat为负值说明a?a的真实指向应与图设的指向相反。由此，可求得OA杆在图示瞬时的角加速度

的大小为

a/2?3u2/4r3?au2??????? α?， ???2r?32r?OBBCctg303r转向如图所示（由aat的真实指向决定）。

上述解法是“避免 ”了取OA 杆为动系时出现的科氏加速度，错在何处？这不难从杆OA 的转动方程

sin??aataatR， x对时间求导求得OA 杆的角速度和角加速度值得到验证，式中x?OA。可以看到，速度分析的结果是正确的，而加速度分析结果是错误的。原因是“取OA杆上与凸轮相接触的B点为动点”，此动点只在此瞬时与凸轮相接触，随后就分道扬镳了，其相对轨迹不是凸轮轮廓线，相对轨迹不清楚，因此，上面分析中ar用凸轮轮廓线的半径作为相对轨迹的曲率半径的计算是错误的。

2 牵连运动为转动时的加速度合成定理

牵连运动为转动时点的加速度合成定理：当牵连运动为转动时，动点的绝对加速度，等于该瞬时动点的牵连加速度、相对加速度与科氏加速度的矢量和

naa?ae?ar?ac，

其中科氏加速度为ac?2ωe?vr，当相对速度矢量与牵连角速度矢量垂直时，相对速度顺着牵

?连角速度转90的方向就是科氏加速度的方向，大小为ac?2ωevr.当点作曲线运动时，其加速

度等于切向加速度和法向加速度的矢量和，因此上式还可进一步写成

nnaat?aa?aet?ae?art?arn?ac.

3

解题要领：

1 在加速度分析中要特别注意动系是否有角速度，如果有，就要考虑科氏加速度。

2 牵连运动为转动时的加速度合成定理涉及的矢量较多，最多有7个矢量，分析和列投影式时不要遗漏了。

3 法向加速度和科氏加速度只与速度和角速度有关，因此，在加速度分析时应作为是已知的。 4 牵连运动为转动时的加速度合成定理只可以解2个未知量。

第五章 点的合成运动 习题解答

5-1 在图a、b所示的两种机构中，已知O1O2?a?200mm，

?1?3rad/s。求图示位置时杆O2A的角速度。

解：（1）取杆O1A上的A点为动点，杆O2A为动系。va?a?1，

由va?ve?vr作速度平行四边形（如题5-1图a所示），得

ve?vacos30??3?1a， 2 (a)

v??2?e?1?1.5rad/s， （逆时针）

O2A2（2）取滑块A为动点，杆O1A为动系， ve?a?1，由va?ve?vr

作速度平行四边形（如题5-1图b所示），得

va?ve2?a?1，

cos30?3va2??1?2rad/s.（逆时针） O2A3

( b)

题5-1图

?2?

5-2图示曲柄滑道机构中，杆BC为水平，杆DE保持铅直。曲柄长OA?0.1m，并以匀角速度??20rad/s绕O轴转动，通过滑块A使杆BC作往复运动。求当曲柄水平线的交角分别为??0、30、90时杆BC的速度。

????2 m/s. 解：取滑块A为动点，动系为BCE杆。va?OA??由 va?ve?vr 得 ve?vasin?

题5-2图

4