理论力学习题(1)

2）a沿y轴负向，小环受力分析如图所示。其运动微分

?m??方程为：??m??dvrdtv2r??mgsin??masin??R?mgcos??macos?(5)

(6)r同理解得：

vr?vr0?2r(g?a)(co?s?cos?0)wragvr0g222(7)

R?[(1?)(3cos??2cos?0)r?](8)

综合以上结果：

vr?vr0?2r(g?a)(co?s?cos?0)wragvr0g222

] R?

[(1?)(3cos??2cos?0)r?

1.34 火车质量为m，其功率为常数k，如果车所受的阻力f为常数，则时间与速度的关系为：

t?如果f和速度v成正比，则： t?式中v0为初速度，试证明之。

证：1）功率：k?Fv?常数，则：F?火车运动微分方程为： m mdvdt?kv?fkvmv2flnvk?fv02mkf2lnk?v0fk?vf?m(v?v0)f

v(k?vf)

vdvk?fv?dt ?m积分：

(k?fv?k)dvf(k?fv)?dt

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?t0dt?mkf?vv0dvk?fv?mf?vv0dv

t?mkf2lnk?fv0k?fv?mf(v?v0)

2）阻力f和速度v成正比：f??v，火车运动微分方程为： m分离变量积分：

dvdt?kv??v

?t0dt?m?vv0vdvk??v2

t??将??fvm2?lnk??vk??v220代入上式得：

t?mv2flnvk?fv02v(k?vf)

1.35 质量为m的物体为一锤所击，设锤所加的压力是均匀地增减的，当在冲击时间?的一半时，增值最大值P，以后又均匀减小至零，求物体在各时刻的速率以及压力所作的总功。

解：所加的压力：F= k t，k为常数

t??2时，F?PP?k?2?k?2P??F?2P?t

物体运动微分方程为：

mdvdt?2P?tt(1)

（1）式分离变量积分：

?v0mdv?Pm?t2?2P0?tdt (0?t? v?

?2?2)

?t??时，F?at?ba、b为常数得：

a??2P t??2时，F?PF??2Pt??时，F?0t?2P?b?2P

??

物体运动微分方程为：

34

mdvdt??2P?t?2PP?4m(2)

当t?（2）式分离变量积分：

?2时，v?

?vP?4mmdv???t(?2P2?t?2P)dt

(2m?P?当t??时，v?2mv?P(??2?4?t?2t)2?2?t??)

压力所作的总功为： W?

1.36检验下列力是否是保守力，如是，则求出其势能。 (a)Fx?6abz3y?20bx3y2(b) Fx?18abyz312m(P?2m)?0?2P?8m22

Fy?6abxz3?10bx4y2Fz?18abxyzFz?6abxyz2

2?20bxy3Fy?18abxz3?10bxy4

(c) F?iFx?x??jFy?y??kFz?z?

解：力是保守力的充要条件为：??F?0

ij??xFx??yFyk??zFz???Fy?Fx?Fz???Fx?i???j???????x?x??y??z??即： ??F?

?Fy??Fz? ????y?z??Fy??Fz????y?z???k??=0

?Fx???0 ?y?????0??2 ???Fx?Fz????0?z?x??2 ????Fy??x??Fy??Fz?(a) ???y?z????18abxz???18abxz?0

?Fz???Fx????18abyz?z?x????Fy?Fx????x?y?

2?18abyz2?0

???6abz??3?40bxy?6abz33?40bxy?03

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?此力是保守力，其势能为：

V??????????x,y,z??Fdx?Fdy?Fdz?? F?dr??xyz??????0,0,0??Fxdx?3?x,0,0??0,0,0????x,y,0?x,0,0?Fydy?32???x,y,z?x,y,0?Fzdz

?x,0,0??0,0,0?6abz?y?20bxy34?dx

?2????x,y,0?x,0,0y?6abxz?4?10bxydy????x,y,z?x,y,0?18abxyzdz2

?0?0?10bxydy?23?z018abxyzdz

?5bxy?6abxyz?Fz?y?Fx?z4

?0(b)

??Fy?z?Fz?x?6abxz2?54abxz2

??54abyz2?6abyz2?0

?Fy?x???Fx?z?18abz3?4abxy?18abz33?40bxy?03

此力不是保守力，不存在势能。

?Fz?y??Fy?z?0?Fx?z??Fz?x?0(c)

?Fy?x??Fx?z?0

此力是保守力，存在势能，在?x,y,z?处相对于?x0,y0,z0?的势能为：

V???F?dr???xx0Fx?x?dx??yy0Fy?y?dy??zz0Fz?z?dz

1.37 根据汤川核力理论，中子与质子之间的引力具有如下形式的势能： V(r)?ke??rr,k?0

试求：（a）中子与质子之间的引力表达式，并与平方反比定律相比较；

（b）求质量为m的粒子作半径为a的圆运动的动量矩J及能量E. 解：（a）中子与质子之间的引力表达式：

F???V(r)?r?ker??r2?k?er??r?k(1??r)er2??r

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