理论力学习题(1)

力为2mgcos?，式中?为水平线和质点运动方向间的夹角，已知圆滚线方程为

x?a(2??sin2?),y??a(1?cos2?).

解：质点受力分析如图所示，在自然坐标系中，质点的法向运动微分方程为：

m由机械能守恒得：

12mv2v2??N?mgcos?(1)

?(?mgy)?0

(2) v2??2gy由圆滚线方程得： 曲率半径为：

??dsd??(dxd?)?(2

dxd??2a(1?cos2?)dyd??2asin2?

dyd?)2?4acos?(3)

将（2）（3）代入（1）得：

N?mv2??mgcos?

2a(1?cos2?)4acos? ?mg(co?s?在任何一点的压力为：

2y?)?mg(co?s?)?2mgcos?

P?N?2mgcos?

1.30 上题中，如圆滚线不是光滑的，且质点自圆滚线的尖端自由下滑，达到圆滚线的最低点时停止运动，则摩擦系数?应满足下式：

?2e???1 试证明之。

证：受力分析如图所示，质点运动微分方程为：

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??m???m??dvdtv2?mgsin???N?N?mgcos?(1)

(2)?（1）（2）两式消去N得：

dvdt??v2??g(?sin???cos?)(3) 将 v?dsdt??dsd?dv2d?v??v?g(?cos??sin?)dsds2ds??d??4acos?d?，代入（3）式：

vdv??vd??g(?cos??sin?)4acos??d?上式两边乘因子：e?2?? 得：

d(ve2?2??)?2g(?cos??sin?cos?)4ae2?2??d?

?8?agcos2?e?2??d??4agsin2?e?2??d?

上式两边积分：??

??0?2???0;v?0?v?0：

ve2?2??v?0???v?0?8?ag[2e?3??cos?(?2?cos??2sin?)4(1??)e?3????0????224(1??)?e?3??d?]

?4ag[(?3?sin2??2cos2?)4(1??)]??0???2 0?8?ag(?12(?2?22?1)?1?e4?(????2?1))?4ag(?1?e2(?2????1))

0??2?ag(?1?e?????122)?2ag(1?e2?????1)

0??2ag(2??2e2?????1)

即： ?2?e????0

故： ?2e???1 证毕。

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1.31 假定单摆在有阻力的媒质中振动，并假定振幅很小，故阻力与??成正比，且可写为R??2mkl??，式中m是摆锤的质量，l为摆长，k为比例常数，试证当k2?单摆的振动周期为：

??2?lg?kl2gl时，

证：选取自然坐标系，单摆受力分析如图所示，单摆在媒质中的切向运动微分方程为：

mv?l??dvdt??mgsin??2mk?l?(1)

?很小，则：sin???，所以（1）式可写为：

gl???2k??? ???0(2)

方程（2）的特征根为：

r??k?k2?gl

当 k2?gl 时，方程（2）的解为：

??Ae?ktcos(gl?kt??)2

单摆的振动周期为：

??2???2?lg?kl2

证毕。

1.32 光滑楔子以匀加速度a0沿水平面运动，质量为m的质点沿楔子的光滑斜面滑下求质点的相对加速度a?和质点对楔子的压力P。

解：取楔子为坐标系，在楔子上建立坐标系o——xy

（1）a0沿x轴正向，质点受力分析如图所示。质点运动微分方程为：

??ma??mgsin??ma0cos???ma0sin??0?N?mgcos

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所以： ???a??gsin??a0cos??ma0sin??N?mgcos

质点对楔子的压力P与N大小相等、方向相反。

（2）同理，a0沿x轴负向，质点受力分析如图所示。质点运动微分方程为：

??ma??mgsin??ma0cos???ma0sin??0?N?mgcos

所以：

??a??gsin??a0cos???ma0sin??N?mgcos

质点对楔子的压力P与N大小相等、方向相反。

综上所求结果得：

1.33 光滑钢丝圆圈的半径为r，其平面为竖直的。圆圈上套一小环，其重为w，如钢丝圈以匀加速度a沿竖直方向运动，求小环的相对速度vr及圈对小环的反作用力R。

解：以圆圈为参照系，建立坐标系o——xy

1）a沿y轴正向，小环受力分析如图所示。其运动微分方程为：

?m????m??dvrdt??a??gsin??a0cos???ma0sin??P?N?mgcos

dvrdtvrr2??mgsin??masin??R?mgcos??macos?(1)

(2)?dvrdsdsdt?vrdvrds?vrdvrrd?

上式代入（1）式后，分离变量积分：

?vrvr0vrdvr??r(g?a)?sin?d??022?

12(vr?vr9)?r(g?a)(cos??cos?0)

?vr?vr0?2r(g?a)(cos??cos?0)22(3)

（3）代入（2）得： R?wr[(1?ag)(3cos??2cos?0)r?vr0g2](4)

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