理论力学习题(1)

dsin??dcos??tg??g2vcos?202(dcos?)2

解得子弹击中斜面的地方和发射点的距离为：

d?2v0cos?sin(???)gcos22?(5)

对（5）式取极值：

ddd??2v0gcos22?[?sin?sin(???)?cos?cos(???)]

于是： 2?????2?2v0cos2(???)g?2cos?2?0

???4??2

将?的表达式代入（5）得距离的最大值为：

dmax?v022gsec(2?4??2)

1.21将一质点以初速v0抛出，v0与水平线所成之角为?，此质点所受到的空气阻力为其速度的mk倍，m为质点的质量，k为比例常数。试求当此质点的速度与水平线所

成之角又为?时所需的时间。

v 解：受力分析如图所示。

建立坐标系O?xy 质点的运动微分方程为：

???mkx?x?m?????mky??mgy?m?v0 R mg O ?x

?

利用初始条件：t?0对上式积分得：

??v0cos?x??v0sin?y

?x??v0cos??e?kt??1??v0ksin??g?e?dt?gy??k???

1当

?y?x?k??v0ksin??g?ev0cos??ektkt?g???tg?时

?kt?v0ksin?

?g?e?kt?g??kv0sin??e21

?2v0ksin?ekt?g?e?kt?g

?2v0ksin??gg

?所需时间为：

t?2v0ksin??ln?1??k?g1??? ?

1.22 如向互相垂直的匀强电磁场E、H中发射一电子，并设电子的初速度V与E及H垂直，试求电子的运动规律。已知此电子所受的力为e(E?v?B)，B为磁感应强度，e为电子所带的电荷，v为任一瞬时电子运动的速度。

解：取电子初速V沿x轴，电场强度E沿y轴，磁感应强度B沿z轴。

i?电子受力：F?e(E?v?B)?eEj?ex0j?y0k?zB?Bi?(eE?ex?B)j?ey

设电子的质量为m，则运动微分方程为：

??eBy?x?m????eE?eBx?y?m??m??z??0z?0(1)(2) (3)利用初始条件：t?0??0，对（3）式积分两次得： zz?0(4)

利用初始条件：t?0y?0??Vx，对（1）式积分得：

(5)

??xeBmy?V将（5）代入（2）式得：

??eE?eB(y m?eBmy?V)

整理得：

?? ?yeBm2222y?eEm?eBVmeBm(6)

特征方程为： r?2eBm22?0r??i

（6）式齐次方程的通解为：

22

y1?C1coseBmt?C2sineBmt

（6）式非齐次方程的特解为：

y2?mEeB2?mVeB

eBmmEeB2所以方程（6）的通解为： y?y1?y2?C1cos（7）式取微商得：

??? yeBCm1eBmt?C2sint??mVeB(7)

sineBmt?eBCm2coseBmt

m(V?EB)C2?0，代入（7）得： (8)利用初始条件：t?0y?meBy?0(V?EB??0yeBm?t?mEeBC1??)coseBmVeB2

将（8）代入（5）式得：

??(V?xEB)coseBmt?EB(9)

利用初始条件：t?0x?meBx?0，对（9）式积分得：

eBmt?EBt(10)

(V?EB)sin（4）（8）（10）为电子的运动方程。

1.23 在上题中，如

（a）B=0，则电子的轨道为在竖直平面（xy平面）的抛物线；

（b）如E=0，则电子的轨道为半径等于

mVeB的园，试证明之。

证：（a）B=0，电子的运动微分方程为：

??x?m????eEy?m??m??z??0(1)(2)(3)

利用初始条件：t?0?x?y?z?0???V??0y?x??0z

对（1）（2）（3）式积分两次得：

?x?Vt?eE2?t?y?2m???z?0

联立消去t得：

23

y?eE2mV2x2——轨道为xy平面的抛物线。

（b）E=0，电子的运动微分方程为：

??eBy?x?m?????eBx?y?m??m??z??0(4)(5)(6)

利用初始条件：t?0利用初始条件：t?0z?0??0，对（6）式积分两次得：z = 0 z?x?y?0???V??0y?x(7) ，对（4）（5）式积分得：

eB???xy?V??m?eB?y???x?m?

(8)(7)(8)得： xdx?ydy?mVeBdy?0

利用初始条件：t?0x?y?0 ，对上式积分得：

mVeB x2?y2?则电子的轨道为： x2?(y?

2mVeBmVeBy?0)?(2mVeB)2——半径等于的园。

1.24 质量为m与2m的两质点，为一不可伸长的轻绳所联结，绳挂在一光滑的滑轮上，在m的下端又用固有长度为a、倔强系数k为

mga的弹性绳挂上另外一个质量为m

的质点，在开始时，全体保持竖直，原来的非弹性绳拉紧，而有弹性的绳则处在固有长

度上，由此静止状态释放后，求证这运动是简谐的，并求出其振动周期及任何时刻两段绳中的张力T及T?。

解：取隔离体，受力分析如图所示，建立坐标ox，运动微分方程为：

?1?2mg?Tx?2m???2?mg?T?T?x?m??m??3?mg?T??xmga(x3?x2?a)(1)(2)(3)(4)

由题意知： T??x1?x2?常数(5)

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