高考数学二轮复习上篇专题整合突破专题七附加题必做部分第2讲计数原理数学归纳法随机变量

专题七 附加题（必做部分）第2讲 计数原理、数学归纳法、随机变

量及其分布列练习 理

1.(2014·江苏卷)盒中共有9个球，其中有4个红球、3个黄球和2个绿球，这些球除颜色外完全相同.

(1)从盒中一次随机取出2个球，求取出的2个球的颜色相同的概率P；

(2)从盒中一次随机取出4个球，其中红球、黄球、绿球的个数分别记为x1，x2，x3，随机变量X表示x1，x2，x3中的最大数，求X的概率分布和数学期望E(X).

C4＋C3＋C2

解 (1)取到的2个颜色相同的球可能是2个红球、2个黄球或2个绿球，所以P＝2C9＝

6＋3＋15

＝. 3618

2

2

2

(2)随机变量X所有可能的取值为2，3，4.

C41{X＝4}表示的随机事件是“取到的4个球是4个红球”，故P(X＝4)＝4＝；

C9126{X＝3}表示的随机事件是“取到的4个球是3个红球和1个其他颜色的球，或3个黄球和1个其他颜色的球”，

C4C5＋C3C620＋613故P(X＝3)＝＝＝； 4

C912663

13111

于是P(X＝2)＝1－P(X＝3)－P(X＝4)＝1－－＝. 6312614所以随机变量X的概率分布如下表：

31

31

4

X P 因此随机变量X的数学期望 2 11 143 13 634 1 126E(X)＝2×＋3×＋4×11141363120＝. 1269

2.(2016·苏北四市调研)为推动乒乓球运动的发展，某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加.现有来自甲协会的运动员3名，其中种子选手2名；乙协会的运动员5名，其中种子选手3名.从这8名运动员中随机选择4人参加比赛.

(1)设A为事件“选出的4人中恰有2 名种子选手，且这2名种子选手来自同一个协会”，求事件A发生的概率；

(2)设X为选出的4人中种子选手的人数，求随机变量X的分布列和数学期望. C2C3＋C3C36解 (1)由已知，有P(A)＝＝. 4C835

22

22

1

所以，事件A发生的概率为

6. 35

(2)随机变量X的所有可能取值为1，2，3，4. C5C3

P(X＝k)＝4(k＝1，2，3，4).

C8所以随机变量X的分布列为

k4－kX P 1 1 142 3 73 3 74 1 1413315随机变量X的数学期望E(X)＝1×＋2×＋3×＋4×＝. 1477142

3.(2015·南通调研)记1，2，…，n满足下列性质T的排列a1，a2，…，an的个数为f(n)(n≥2，

n∈N*).性质T：排列a1，a2，…，an中有且只有一个ai＞ai＋1(i∈{1，2，…，n－1}).

(1)求f(3)；(2)求f(n).

解 (1)当n＝3时，1，2，3的所有排列有(1，2，3)，(1，3，2)，(2，1，3)，(2，3，1)，(3，1，2)，(3，2，1)，其中满足仅存在一个i∈{1，2，3}，使得ai＞ai＋1的排列有(1，3，2)，(2，1，3)，(2，3，1)，(3，1，2)，所以f(3)＝4. (2)在1，2，…，n的所有排列(a1，a2，…，an)中，

若ai＝n(1≤i≤n－1)，从n－1个数1，2，3，…，n－1中选i－1个数按从小到大顺序排列为a1，a2，…，ai－1，其余按从小到大的顺序排列在余下位置，于是满足题意的排列个数为Cn－1.

若an＝n，则满足题意的排列个数为f(n－1). 综上，f(n)＝f(n－1)＋

3

i－1

?i?1n?1Cn－1＝f(n－1)＋2

i－1n－1

－1.

2（1－2）n从而f(n)＝－(n－3)＋f(3)＝2－n－1.

1－2

4.(2016·苏、锡、常、镇、宿调研)在杨辉三角形中，从第2行开始，除1以外，其它每一个数值是它上面的两个数值之和，该三角形数阵开头几行如图所示.

n－3

2

(1)在杨辉三角形中是否存在某一行，使该行中三个相邻的数之比是3∶4∶5？若存在，试求出是第几行；若不存在，请说明理由；

(2)已知n，r为正整数，且n≥r＋3.求证：任何四个相邻的组合数Cn，Cn，Cn，Cn不能构成等差数列.

(1)解 存在.杨辉三角形的第n行由二项式系数Cn，k＝0，1，2，…，n组成. 若第n行中有三个相邻的数之比为3∶4∶5， Cnk3Cnk＋14则k＝＝，k＋1＝＝， Cnn－k＋14Cnn－k5即3n－7k＝－3，4n－9k＝5， 解得k＝27，n＝62.

即第62行有三个相邻的数C62，C62，C62的比为3∶4∶5.

(2)证明 若有n，r(n≥r＋3)，使得Cn，Cn，Cn，Cn成等差数列， 则2Cn＝Cn＋Cn，2Cn＝Cn＋Cn，

2·n！n！n！即＝＋， （r＋1）！（n－r－1）！r！（n－r）！（r＋2）！（n－r－2）！

2·n！n！n！

＝＋，

（r＋2）！（n－r－2）！（r＋1）！（n－r－1）！（r＋3）！（n－r－3）！所以

211

＝＋，

（r＋1）（n－r－1）（n－r－1）（n－r）（r＋1）（r＋2）

r＋1

rr＋2

r＋2

r＋1

r＋3

rr＋1

r＋2

r＋3

26

27

28

rr＋1r＋2r＋3

kk－1k211

＝＋，

（r＋2）（n－r－2）（n－r－2）（n－r－1）（r＋2）（r＋3）

整理得n－(4r＋5)n＋4r(r＋2)＋2＝0，n－(4r＋9)n＋4(r＋1)(r＋3)＋2＝0. 两式相减得n＝2r＋3，

所以C2r＋3，C2r＋3，C2r＋3，C2r＋3成等差数列， 由二项式系数的性质可知C2r＋3＝C2r＋3＜C2r＋3＝C2r＋3，

3

rr＋3

r＋1

r＋2

rr＋1

r＋2

r＋3

2

2

这与等差数列的性质矛盾，从而要证明的结论成立. 5.(2010·江苏卷)已知△ABC的三边长都是有理数. (1)求证：cos A是有理数；

(2)求证：对任意正整数n，cos nA是有理数.

b2＋c2－a2

证明 (1)设三边长分别为a，b，c，cos A＝，

2bc∵a，b，c是有理数，

b2＋c2－a2是有理数，分母2bc为正有理数，又有理数集对于除法具有封闭性， b2＋c2－a2∴必为有理数，

2bc∴cos A是有理数.

(2)①当n＝1时，显然cos A是有理数； 当n＝2时，∵cos 2A＝2cosA－1， 因为cos A是有理数， ∴cos 2A也是有理数；

②假设当n≤k(k≥2)时，结论成立，即cos kA、cos(k－1)A均是有理数. 当n＝k＋1时，cos(k＋1)A＝cos kAcos A－sin kAsin A 1

＝cos kAcos A－[cos(kA－A)－cos(kA＋A)]

211

＝cos kAcos A－cos(k－1)A＋cos(k＋1)A

22解得：cos(k＋1)A＝2cos kAcos A－cos(k－1)A ∵cos A，cos kA，cos(k－1)A均是有理数， ∴2cos kAcos A－cos(k－1)A是有理数， ∴cos(k＋1)A是有理数. 即当n＝k＋1时，结论成立.

综上所述，对于任意正整数n，cos nA是有理数.

sin x*

6.(2014·江苏卷)已知函数f0(x)＝(x>0)，设fn(x)为fn－1(x)的导数，n∈N.

2

x?π?π?π?(1)求2f1??＋f2??的值；

?2?2?2?

π?π?π??2??nf(2)证明：对任意的n∈N，等式?n－1??＋fn???＝都成立. ?4?4?4??2?

*

(1)解 由已知，得f1(x)＝f′0(x)＝?

?sin x?′＝cos x－sin x，于是f(x)＝f′(x)＝

?21

xx2?x?

4