2017-2018学年浙江省杭州市江干区八年级(下)期末数学试卷

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（2）根据题意得△＝（﹣5）﹣4×（3a+3）≥0， 解得a≤

．

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【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b﹣4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△＝0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程无实数根．也考查了解一元二次方程．

21．（10分）如图，将一张矩形纸片ABCD沿着对角线BD向上折叠，顶点C落到点E处，BE交AD于点F，作DG∥BE，交BC于点G，连接FG交BD于点O． （1）判断四边形BFDG的形状，并说明理由； （2）若AB＝3，AD＝4，求FG的长．

【分析】（1）根据已知矩形性质及第一问证得邻边相等判断； （2）根据折叠特性设未知边，构造勾股定理列方程求解 【解答】解：（1）四边形BFDG是菱形．理由如下： ∵四边形ABCD是矩形， ∴AD∥BC， ∴FD∥BG， 又∵DG∥BE，

∴四边形BFDG是平行四边形， ∵∠EBD＝∠CBD，∠CBD＝∠FDB ∴∠FBD＝∠FDB， ∴DF＝BF，

∴四边形BFDG是菱形；

（2）∵AB＝3，AD＝4， ∴BD＝5．

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∴OB＝BD＝． 假设DF＝BF＝x， ∴AF＝AD﹣DF＝4﹣x．

∴在直角△ABF中，AB+AF＝BF，即3+（4﹣x）＝x， 解得x＝即BF＝∴FO＝∴FG＝2FO＝

， ，

＝．

，

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2

2

2

2

【点评】此题考查了矩形的性质、菱形的判定和性质、勾股定理解答，考查了翻折不变性，综合性较强，是一道好题．

22．（12分）在面积都相等的所有三角形中，当其中一个三角形的一边长x为1时，这条边上的高y为6．

（1）①求y关于x的函数表达式； ②当x≥3时，求y的取值范围；

（2）小李说其中有一个三角形的一边与这边上的高之和为4，小赵说有一个三角形的一边与这边上的高之和为6．你认为小李和小赵的说法对吗？为什么？

【分析】（1）①直接利用三角形面积求法进而得出y与x之间的关系；②直接利用x≥3得出y的取值范围；

（2）直接利用x+y的值结合根的判别式得出答案． 【解答】解：（1）①S△＝×1×6＝3， ∵x为底，y为高， ∴xy＝3，

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∴y＝；

②当x＝3时，y＝2，

∴当x≥3时，y的取值范围为：0＜y≤2； （2）小赵的说法正确，

理由：小李：∵小李说其中有一个三角形的一边与这边上的高之和为4， ∴x+＝4，

整理得，x﹣4x+6＝0， ∵△＝4﹣4×6＜0，

∴一个三角形的一边与这边上的高之和不可能是4； 小赵：∵小赵说有一个三角形的一边与这边上的高之和为6． ∴x+＝6，

整理得，x﹣6x+6＝0， ∵△＝6﹣4×6＝12＞0， ∴x＝

＝3

，

2222

∴小赵的说法正确．

【点评】此题主要考查了反比例函数的应用以及一元二次方程的解法，正确得出y与x之间的关系是解题关键．

23．（12分）如图，菱形纸片ABCD的边长为2，∠BAC＝60°，翻折∠B，∠D，使点B、D两点重合在对角线BD上一点P，EF，GH分别是折痕．设AE＝x（0＜x＜2）． （1）证明：AG＝BE；

（2）当0＜x＜2时，六边形AEFCHG周长的值是否会发生改变，请说明理由； （3）当0＜x＜2时，六边形AEFCHG的面积可能等于如果不能，请说明理由．

吗？如果能，求此时x的值；

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【分析】（1）由折叠的性质得到BE＝EP，BF＝PF，得到BE＝BF，根据菱形的性质得到AB∥CD∥FG，BC∥EH∥AD，于是得到结论；

（2）由菱形的性质得到BE＝BF，AE＝FC，推出△ABC是等边三角形，求得∠B＝∠D＝60°，得到∠B＝∠D＝60°，于是得到结论；

（3）记AC与BD交于点O，得到∠ABD＝30°，解直角三角形得到AO＝1，BO＝求得S四边形ABCD＝2﹣

＝

，当六边形AEFCHG的面积等于

时，得到S△BEF+S△DGH＝2

，

，设GH与BD交于点M，求得GM＝x，根据三角形的面积列方程即可

得到结论．

【解答】解：（1）∵翻折∠B，∠D，使点BD两点重合在对角线BD上一点P， ∴BE＝EP，BF＝PF， ∵BD平分∠ABC， ∴BE＝BF，

∴四边形BFPE是菱形， 同理，四边形DGPH是菱形， ∴AB∥CD∥FG，BC∥EH∥AD， ∴四边形AEPG为平行四边形， ∴AG＝EP＝BE；

（2）不变，∵AG＝BE，四边形BEPF是菱形， ∴BE＝BF，AE＝FC， ∵∠BAC＝60°， ∴△ABC是等边三角形， ∴∠B＝∠D＝60°， ∴△ABC是等边三角形， ∴∠B＝∠D＝60°， ∴EF＝BE，GH＝DG，

∴六边形AEFCHG周长＝AE+EF+FC+CH+GH+AG＝3AB＝6，

故六边形AEFCHG周长的值不变；（3）能，理由：记AC与BD交于点O， ∵AB＝2，∠BAC＝60°， ∴∠ABD＝30°，

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