切比雪夫不等式及其应用（论文）

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以上结论的详细论述参见文献[9]，现将x1,x2,?,xm当作随机变量X1,X2,?,Xm，用（4.2）式来讨论IRR的概率分析。

4.2.2 IRR的概率分析

对IRR概率分析的关键在于如何确定各风险因素变化率的概率分布，根据中心极限定理， 各种风险因素的变化由于受到众多可控或不可控的随机因素影响，应该近似服从正态分布。但由于经济评价工作的特殊性，不可能得到这些因素变化的统计资料，所以不能用统计方法算出两个重要参数: 期望?和方差?2，这样各因素的概率分布就不能确定，因而指标的分布也不能确定。若通过（4.2）式将IRR表为各因素变化率Xi的函数，则我们可做如下合理的假定和计算：

① x1,x2,?,xn的意义是各易变因素的变化率，根据评价工作的实际情况可假定其服从均匀分布，这是因为在未来实际问题中，对易变因素做出哪种情况变化概率大, 哪种情况变化概率小，都是很难的，在这种对客观概率缺乏有效估计时，将其当作均匀分布看待是最合理的，所以可以认为Xi在某区间[ai,bi]内取值的概率是均匀的。其中ai是第i个因素变化率Xi的最小值，bi是最大值，i?1,2,3,?,m。这两个值可由专家预测得到。

② 假定各因素的变化率x1,x2,?,xn是不相关的随机变量。这是因为对实际问题来讲，各因素之间的关系是错综复杂的，因素之间不一定不相关，也不一定独立，但它们变化的幅度可以近似认为是不相关的。

在以上两个假定之下，根据概率理论我们可以方便地计算出IRR的两个重要参数期望

E(IRR)和方差D(IRR)。

由于Xi在[ai,bi]上服从均匀分布，故

E(Xi)?ai?bi2 i?1,2,3,?,m （4.3）

2D(Xi)?(bi?ai)12 i?1,2,3,?,m (4.4）

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所以有

mm??E(IRR)?IRR0??i?1?iE(Xi)?IRR0?mm?i?1?i(ai?bi2) （4.5）

?2?D(IRR)?D(IRR0)???i?12iD(Xi)???i?12i(bi?ai)122 （4.6）

IRR的标准差为??D(IRR)。

有了E(IRR)和D(IRR)，就可对方案的可行性和风险性大小做出初步的判定。E(IRR)是内部收益率在各种随机因素变化水平下的平均值，也是最大可能取值，是方案可行性决策的最重要的指标之一，?反映其内部收益率与E(IRR)的接近程度, 它的大小反映了项目的风险性大小。

对x1,x2,?,xn的概率分布做了合理假设后，理论上IRR的分布就由（4.2）式唯一确定了，但由于变化因素较多，利用概率理论给出IRR的精确分布是非常困难的，所以实际的IRR与其均值接近程度的概率计算无法实现。但我们可以利用概率论中一个非常著名的不等式—— 切比雪夫不等式，它的特点是无需知道随机变量的分布，而仅用方差就可对随机变量X接近

E(X)的程度给出概率估计。

根据切比雪夫不等式P [X?E(X)??]?1???22有

D(IRR)P [IRR?E(IRR)??]?1??2 （4.7）

一般?可取20%，15%，10%，5%等。

（4.7）给出了IRR的实际取值在E(IRR)??范围内的最小概率，若E(IRR)??大于基准 收益率，则这一最小概率越大，方案的抗风险能力越强。至此，我们用切比雪夫不等式给出了评价IRR的概率风险分析的一种新方法，这种方法也适用于其他经济效益指标的风险分析。

4.2.3 应用

下面以某新开发油田经济评价的概率分析为例，说明以上方法的应用。

某新开发油田计算期为24年，生产期为23年。由于计算期较长，评价所采用的数据极有可能发生变化，故不确定性分析对决策十分重要。根据油田的实际情况，我们以内部收益率为项目的效益指标，以原油产量、原油售价、可变成本、固定资产投资为影响内部收益率的主要因素。首先利用原始数据对内部收益率做单因素敏感性分析，在计算机上算出了当原油

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产量、原油售价、可变成本、固定资产投资变化幅度分别为?20%、?15%、?10%、?5%、

5%、10%、15%、20%时，内部收益率的变化情况，结果见表4.1

表4.1 单因素敏感性分析表

Table 4.1 univariate sensitivity analysis table

-20% -15% -10% -5% 0 5% 10% 15% 20% 原油 产量 原油 售价 固定资产投资 可变 成本

0.1125 0.1269 0.1409 0.1546 0.1679 0.1809 0.1936 0.2060 0.2182 0.0836 0.1065 0.1279 0.1483 0.1679 0.1867 0.2049 0.2226 0.2308 0.2116 0.1992 0.1879 0.1775 0.1679 0.1590 0.1507 0.1431 0.1358 0.1876 0.1826 0.1779 0.1729 0.1679 0.1628 0.1576 0.1524 0.1471 基准收益率0.18 内部收益率和原油产量变化率的回归方程为:

IRR1?0.1668?0.2560x1，r?0.9398

内部收益率和原油售价变化率的回归方程为:

IRR2?0.1664?0.3761x2，r?0.9929

内部收益率和固定资产投资变化率的回归方程是:

IRR3?0.1703?0.1880x3，r??0.9921

内部收益率和可变成本变化率的回归方程是:

IRR4?0.1667?0.1013x4，r??0.9993

将以上方程代入公式（4.2）中，得到4个因素敏感性分析公式如下：

4IRR(x1,x2,x3,x4)?R(0,0,0,0)??k?1?Ri?xi?xi （4.8）

?0.1679?0.2560x1?0.3761x2?0.1880x3?0.1013x4下面对（4.8）进行概率分析。

首先由专家测算出4个因素变化率的范围，原油产量的变化率X1的范围是(?15%,15%)，

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原油售价变化率X2的范围是(5%,20%)，固定资产投资变化率X3的范围是(?15%,15%)，可变成本变化率X4的范围是(?5%,20%)。

假定各Xi在所给范围内服从均匀分布，则由（4.3）和（4.4）式可得

E(X1)?0 D(X1)?0.0075 E(X2)?0.125 D(X2)?0.001875

E(X3)?0 D(X3)?0.0075

E(X4)?0.15 D(X4)?0.005208

由（4.5）和（4.6）式可算出

4??E(IRR)?0.1679??0.1679?0.03182?0.19974??i?1iE(Xi)

?2?D(IRR)??i?1?iD(Xi)?0.001075

2通过计算看到该项目的内部收益率均值为19.97%，超过石油部门基准收益率，所以该项目是可行的。

取??5%，则IRR取值与其均值?误差绝对值不超过5%的概率至少为:

P [IRR???0.05]?1?0.0010750.052?57%

取??10%，则IRR取值与其均值?误差绝对值不超过10%的概率至少为:

P [IRR???0.1]?1?0.0010750.12?89.25%

取??15%，则IRR取值与其均值?误差绝对值不超过15%的概率至少为:

P [IRR???0.15]?1?0.0010750.152?95.22%

通过以上分析和计算，对项目的内部收益率均值及在均值上下波动的范围分别为5%，10%， 15%的最小概率做出了估计，由计算结果看到，该项目可行，且具有一定的抗风险能力，决策者根据这些概率就可对方案承受的风险情况做到心中有数了。

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