(京津专用)2020高考数学总复习 优编增分练：8+6分项练2 不等式与推理证明 文

2019年

??b＋c＋1＝0，又由?

?2b＋c＋4＝0，?

解得A(－3,2)，此时zmax＝－3＋2×2＝1， 由?

?c＝0，?

??2b＋c＋4＝0，

解得B(－2,0)，此时zmin＝－2＋2×0＝－2， 所以b＋2c的取值范围是(－2,1)．

9．有三支股票A，B，C,28位股民的持有情况如下：每位股民至少持有其中一支股票，在不持有A股票的人中，持有B股票的人数是持有C股票的人数的2倍．在持有A股票的人中，只持有A股票的人数比除了持有A股票外，同时还持有其它股票的人数多1.在只持有一支股票的人中，有一半持有A股票．则只持有B股票的股民人数是________． 答案 7

解析 设只持有A股票的人数为X(如图所示)，则持有A股票还持有其它股票的人数为X－1(图中d＋e＋f的和)，因为只持有一支股票的人中，有一半持有A股票，则只持有了B或C股票的人数和为X(图中b＋c部分)．假设只同时持有了B和C股票的人数为a(如图所示)，

那么X＋X－1＋X＋a＝28，即3X＋a＝29，则X的取值可能是9,8,7,6,5,4,3,2,1.与之对应的a值为2,5,8,11,14,17,20,23,26.

因为没持有A股票的股民中，持有B股票的人数为持有C股票人数的2倍，得b＋a＝2(c＋a)，即X－a＝3c，故当X＝8，a＝5时满足题意，故c＝1，b＝7，故只持有B股票的股民人数是7.

x－y≥0，??

10．已知实数x，y满足约束条件?x＋2y≤4，

??x－2y≤2，

________． 11

答案 3或－

3

16

如果目标函数z＝x＋ay的最大值为，则实数a的值为

3

解析 先画出线性约束条件所表示的可行域(含边界)，当a＝0时不满足题意，故a≠0. 111

目标函数化为y＝－x＋z，当a>0时，－<0，

aaa

2019年

11?44?(1)当－≤－<0，即a≥2时，最优解为A?，?， 2a?33?

z＝＋a＝，a＝3，满足a≥2；

1111614?1?(2)当－<－，即0

当a<0时，－>0，

4343163

a111611

(3)当0<－<，即a<－2时，最优解为C(－2，－2)，z＝－2－2a＝，a＝－，满足a<－2；

a2331111614?1?(4)当－≥，即－2≤a<0时，最优解为B?3，?，z＝3＋a＝，a＝，不满足－2≤a<0，舍去． a2233?2?综上，实数a的值为3或－

11

. 3

x－y＋2≥0，??

11．(2018·上饶模拟)若x，y满足约束条件?2x＋y－3≤0，

??y≥1，

2

答案

3

则

y＋1

的最小值为________． x＋2

x－y＋2≥0，??

解析 画出x，y满足约束条件?2x＋y－3≤0，

??y≥1

的可行域如图阴影部分所示(含边界)．

y＋1

的几何意义为可行域内的动点P(x，y)与定点Q(－2，－1)连线的斜率， x＋2

当P位于A(－1,1)时，直线PQ的斜率最大， 1＋1

此时kmax＝＝2，

－1＋2

当P位于B(1,1)时，直线PQ的斜率最小，

2019年

1＋12

此时kmin＝＝.

1＋23

x≥y，??

12．(2018·南平模拟)若实数x，y满足?2x－y≤2，

??y≥0，

值为________． 答案 2

11

且z＝mx＋ny(m>0，n>0)的最大值为4，则＋的最小

mn解析 作出不等式组表示的可行域如图阴影部分所示(含边界)．

由可行域知可行域内的点(x，y)均满足x≥0，y≥0.

所以要使z＝mx＋ny(m>0，n>0)最大，只需x最大，y最大即可，即在点A处取得最大值．

??y＝x，联立?

?y＝2x－2，?

解得A(2,2)．

所以有2m＋2n＝4，即m＋n＝2.

11?11?1?mn?1

＋＝(m＋n)?＋?＝?1＋＋＋1?≥×(2＋2)＝2. mn2?mn?2?nm?21

11

当且仅当m＝n＝1时，＋取得最小值2.

mn14

13．(2018·宣城调研)已知函数f(x)＝2x－sin x，若正实数a，b满足f(a)＋f(2b－1)＝0，则＋的最小值是

ab________． 答案 9＋42

解析 因为f′(x)＝2－cos x>0，f(－x)＝－2x＋sin x＝－f(x)， 所以函数f(x)为单调递增的奇函数， 因此由f(a)＋f(2b－1)＝0， 得f(a)＝－f(2b－1)＝f(1－2b)， 所以a＝1－2b，a＋2b＝1，

14?14?2b4a因此＋＝?＋?(a＋2b)＝9＋＋≥9＋2ab?ab?

ab2b4a22－14－2·＝9＋42，当且仅当a＝，b＝时取等号． ab77

14．(2018·漳州质检)分形几何学是一门以不规则几何形态为研究对象的几何学．分形的外表结构极为复杂，但其内部却是有规律可寻的．一个数学意义上分形的生成是基于一个不断迭代的方程式，即一种基于递归的反馈系

2019年

统．下面我们用分形的方法来得到一系列图形，如图1，线段AB的长度为a，在线段AB上取两个点C，D，使得

AC＝DB＝AB，以CD为一边在线段AB的上方做一个正六边形，然后去掉线段CD，得到图2中的图形；对图2中

的最上方的线段EF做相同的操作，得到图3中的图形；依此类推，我们就得到了以下一系列图形：

14

记第n个图形(图1为第1个图形)中的所有线段长的和为Sn，现给出有关数列{Sn}的四个命题： ①数列{Sn}是等比数列； ②数列{Sn}是递增数列；

③存在最小的正数a，使得对任意的正整数n，都有Sn>2 018； ④存在最大的正数a，使得对任意的正整数n，都有Sn<2 018. 其中真命题是________．(请写出所有真命题的序号) 答案 ②④

解析 由题意，得图1中的线段为a，S1＝a， 图2中的正六边形的边长为，

2

aaS2＝S1＋×4＝S1＋2a，

2

图3中的最小正六边形的边长为，

4

aaS3＝S2＋×4＝S2＋a，

4

图4中的最小正六边形的边长为，

8

aaaS4＝S3＋×4＝S3＋，

8

2

由此类推，Sn－Sn－1＝

a2

n－3

(n≥2)，

即{Sn}为递增数列，但不是等比数列， 即①错误，②正确；

因为Sn＝S1＋(S2－S1)＋(S3－S2)＋…＋(Sn－Sn－1) 1??2a?1－n－1?

aa?2?

＝a＋2a＋a＋＋…＋n－3＝a＋

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1－2