热统勾选习题（不含第九章）

度为T时晶体的磁化强度M及其在弱磁场高温极限和强场低温极限下的近似值。

8.10 试根据热力学公式S??的熵.

解: 式（8.4.10）给出光子气体的内能为

π2k44U?VT. （1） 3315cCVdT及光子气体的热容量求光子气体T由此易得其定容热容量为

4π2k4??U?CV??VT3 （2） ??33??T?V15c根据热力学关于均匀系统熵的积分表达式（2.4.5），有

?C???p?S???VdT??dV???S0, （3）

??T?V?T?积分沿任意一条积分路线进行. 如果取积分路线为由（0，V）到（T，V）的直线，即有

4π2k4S?15c334π2k4V3TdT?T, （4） 3345c2?T0其中已取积分常量S0为零.

如果取其他积分路线，例如由（0，0）至（T，V）的直线，结果如何？

8.14 试求绝对零度下自由电子气体中电子的平均速率.

解: 根据式（8.5.4），绝对零度下自由电子气体中电子动量（大小）的分布为

f?1,f?0,p?pF,

p?pF, （1）

其中pF是费米动量，即0 K时电子的最大动量. 据此，电子的平均动

量为

8πV3hp?8πVh3??pF0pF014pF3?4?pF. （2） 134p2dppF3p3dp因此电子的平均速率为

υ?p3pF3??υF. （3） m4m48.18 试求在极端相对论条件下自由电子气体在0K时的费米能量、内能和简并压.

解: 极端相对论条件下，粒子的能量动量关系为

??cp.

根据习题6.4式（2），在体积V内，在?到??d?的能量范围内，极端相对论粒子的量子态数为

D???d??8πV?ch?3?2d?. （1）

式中已考虑到电子自旋在动量方向的两个可能投影而将习题6.4式（2）的结果乘以因子2.

0 K下自由电子气体的分布为

??1,????0?;f????? （2）

??0,????0?.费米能量??0?由下式确定：

N?8πV?ch?3???0?0?2d??8πV13???0?, 3?ch?3故

??0????3n??ch. （3） ?8??13 0 K下电子气体的内能为

U??????0?0?D???d???0?3?ch??08πV?3d?

8πV14???0?3?ch?4?3N??0?. （4） 4 根据习题7.2式（4），电子气体的压强为

p?1U1?n??0?. （5） 3V4

8.19 假设自由电子在二维平面上运动，面密度为n. 试求0 K时二维电子气体的费米能量、内能和简并压.

解: 根据6.3题式（4），在面积A内，在?到??d?的能量范围内，二维自由电子的量子态数为

D???d??4?Amd?. （1） h2式中已考虑到电子自旋在动量方向的两个可能投影而将6.3题式（4）的结果乘以2.

0 K下自由电子的分布为

??1,????0?;f????? （2）

??0,????0?.费米能量??0?由下式确定：

N???0?4πA4πAmd??m??0?, h2?0h2即

h2Nh2??0???. （3）

4πmA4πm 0 K下二维自由电子气体的内能为

4πA??0?4πAm2NU?2m??d??2??0????0?. （4） 0hh22 仿照习题7.1可以证明，对于二维的非相对论粒子，气体压强与内能的关系为

p?U. （5） A因此0 K下二维自由电子气体的压强为

p?1n??0?. （6） 2