热统勾选习题（不含第九章）

1.7 抽成真空的小匣带有活门，打开活门让气体冲入，当压强达到外界压强p0时将活门关上，试证明：小匣内的空气在没有与外界交换热量之前，它的内能U与原来在大气中的内能U0之差为U?U0?p0V0，其中V0是它原来在大气中的体积，若气体是理想气体，求它的温度与体积。

解：将冲入小匣的气体看作系统。系统冲入小匣后的内能U与其原来在大气中的内能U0由式（1.5.3）

U?U0?W?Q （1）

确定。由于过程进行得很迅速，过程中系统与外界没有热量交换，一Q?0. 过程中外界对系统所做的功可以分为W1和W2两部分来考虑。方面，大气将系统压入小匣，使其在大气中的体积由V0变为零。由于小匣很小，在将气体压入小匣的过程中大气压强p0可以认为没有变化，即过程是等压的（但不是准静态的）。过程中大气对系统所做的功为

W1??p0?V?p0V0.

另一方面，小匣既抽为真空，系统在冲入小匣的过程中不受外界阻力，与外界也就没有功交换，则

W2?0.

因此式（1）可表为

U?U0?p0V0. （2）

如果气体是理想气体，根据式（1.3.11）和（1.7.10），有

p0V0?nRT, （3）

U0?U?CV(T?T0)?nR(T?T0) （4） ??1式中n是系统所含物质的量。代入式（2）即有

T??T0. （5）

活门是在系统的压强达到p0时关上的，所以气体在小匣内的压强也可看作p0，其物态方程为

p0V?nR?T0. （6）

与式（3）比较，知

V??V0. （7）

1.8 满足pVn?C的过程称为多方过程，其中常数n名为多方指数。试证明：理想气体在多方过程中的热容量Cn为

Cn?n??CV n?1解：根据式（1.6.1），多方过程中的热容量

??Q???U???V?Cn?lim???p?????. （1） ?T?0?T?T?T??n??n??n对于理想气体，内能U只是温度T的函数，

??U????CV, ?T??n所以

??V?Cn?CV?p??. （2）

??T?n将多方过程的过程方程式pVn?C与理想气体的物态方程联立，消去压强p可得

。 （3） TVn?1?C1（常量）

将上式微分，有

Vn?1dT?(n?1)Vn?2TdV?0,

所以

V??V???. （4） ??(n?1)T??T?n代入式（2），即得

Cn?CV?pVn???CV, （5） T(n?1)n?1其中用了式（1.7.8）和（1.7.9）。

1.11大气温度随高度降低的主要原因是在对流层中的低处与高处之间空气不断发生对流，由于气压随高度而降低，空气上升时膨胀，下降时收缩，空气的导热率很小，膨胀和收缩的过程可以认为是绝热过程，试计算大气温 度随高度的变化率

dT，并给出数值结果。 dz解：取z轴沿竖直方向（向上）。以p(z)和p(z?dz)分别表示在竖

直高度为z和z?dz处的大气压强。 二者之关等于两个高度之间由大气重量产生的压强，即

p(z)?p(z?dz)??(z)gdz,

（1）

开，有

式中?(z)是高度为z处的大气密度，g是重力加速度。 将p(z?dz)展

p(z?dz)?p(z)?dp(z)dz, dz代入式（1），得

dp(z)???(z)g. （2） dz式（2）给出由于重力的存在导致的大气压强随高度的变化率。

以m?表大气的平均摩尔质量。 在高度为z处，大气的摩尔体积为

m?，则物态方程为 ?(z)m?p(z)?RT(z), （3）

?(z)，消去?(z)得 T(z)是竖直高度为z处的温度。 代入式（2）

dm?gp(z)??p(z). （4） dzRT(z)由式（1.8.6）易得气体在绝热过程中温度随压强的变化率为

??T???1T?. （5） ???p?p??S综合式（4）和式（5），有

??T?dd??1m?gT(z)??p?z???. （6） ?dz?R??p?Sdz大气的??1.41（大气的主要成分是氮和氧，都是双原子分子），平均摩尔质量为m??29?10?3kg?mol?1,g?9.8m?s?2，代入式（6）得

dT?z???10K?km?1. （7） dz式（7）表明，每升高1km，温度降低10K。 这结果是粗略的。由于各种没有考虑的因素，实际每升高1km，大气温度降低6K左右。

1.14试根据热力学第二定律证明两条绝热线不能相交。 解：假设在p?V图中两条绝热线交于C点，如图所示。设想一等温线与

两条绝热线分别交于A点和B点（因为等温线的斜率小于绝热线的斜率，这样的等温线总是存在的），则在循环过程ABCA中，系统在等温过程AB中从外界吸取热量Q，而在循环过程中对外做功W，其数值等于三条线所围面积（正值）。循环过程完成后，系统回到原来的状态。根据热力学第一定律，有

W?Q。

这样一来，系统在上述循环过程中就从单一热源吸热并将之完全转变为功了，

这违背了热力学第二定律的开尔文说法，是不可能的。 因此两条绝热线不可能相交。 度?T1?T2?后的熵增。

l?L端解：以L表示杆的长度。杆的初始状态是l?0端温度为T2，T1?T2（设T1?T2）。 这是一个非平衡状态。通L1过均匀杆中的热传导过程，最终达到具有均匀温度?T1?T2?的平衡状

2121.19 均匀杆的温度一端为T1，另一端为T2，试计算达到均匀温

温度为T1，温度梯度为

态。为求这一过程的熵变，我们将杆分为长度为dl的许多小段，如图所示。位于l到l?dl的小段，初温为

T?T2?T1?T2l. （1） L