高中数学 第二章 圆锥曲线与方程阶段复习课学案 新人教A版选修2-1

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第二课 圆锥曲线与方程

[核心速填]

1．椭圆、双曲线、抛物线的定义、标准方程、几何性质

椭圆 双曲线 抛物线 平面内与一个定点F平面内与两个定点F1，平面内与两个定点F1，F2定义 F2的距离之和等于常的距离的差的绝对值等于和一条定直线l(l不数(大于|F1F2|)的点的轨迹 常数(小于|F1F2|)的点的轨迹 经过点F)距离相等的点的轨迹 标准方程 关系式 y2＝2px或y2＝－2pxx2y2y2x2x2y2y2x2＋＝1或2＋2＝－＝1或2－2＝22a2b2aba2b2ab或x＝2py或x＝－1(a>b>0) 1(a>0，b>0) 2py(p>0) a2－b2＝c2 封闭图形 a2＋b2＝c2 无限延展，但有渐近线y＝图形 ba±x或y＝±x ab|x|≥a或|y|≥a 无限延展，没有渐近线 变量范围 对称性 顶点 离心率 |x|≤a，|y|≤b或|y|≤a，|x|≤b x≥0或x≤0或y≥0或y≤0 无对称中心 一条对称轴 对称中心为原点 两条对称轴 四个 两个 一个 ce＝，且01 ae＝1 2.双曲线及渐近线的设法技巧 (1)由双曲线标准方程求其渐近线方程时，最简单实用的办法是：把标准方程中的1换

x2y2x2y2

成0，即可得到两条渐近线的方程．如双曲线2－2＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为2－2＝

ababby2x2y2x2

0(a>0，b>0)，即y＝±x；双曲线2－2＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为2－2＝0(a>0，b>0)，

aabab即y＝±x.

abxyx2y2

(2)如果双曲线的渐近线为±＝0时，它的双曲线方程可设为2－2＝λ(λ≠0)．

abab3．抛物线的焦点弦问题

抛物线过焦点F的弦长|AB|的一个重要结论． (1)y＝2px(p>0)中，|AB|＝x1＋x2＋p.

2

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(2)y＝－2px(p>0)中，|AB|＝－x1－x2＋p. (3)x＝2py(p>0)中，|AB|＝y1＋y2＋p. (4)x＝－2py(p>0)中，|AB|＝－y1－y2＋p.

[体系构建]

22

2

[题型探究]

圆锥曲线的定义及应用 (1)已知动点M的坐标满足方程5x＋y＝|3x＋4y－12|，则动点M的轨迹是

( )

A．椭圆 C．抛物线

B．双曲线 D．以上都不对

2.2

22(2)在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心为原点，焦点F1，F2在x轴上，离心率为过F1的直线l交C于A，B两点，且△ABF2的周长为16，那么C的方程为________.

【导学号：46342119】

[解] (1)把轨迹方程5x＋y＝|3x＋4y－12|写成x＋y＝

2222|3x＋4y－12|

. 5

∴动点M到原点的距离与它到直线3x＋4y－12＝0的距离相等．∴点M的轨迹是以原点为焦点，直线3x＋4y－12＝0为准线的抛物线．

x2y2

(2)设椭圆方程为2＋2＝1(a＞b＞0)，因为AB过F1且A，B在椭圆上，如图所示，则

ab△ABF2的周长为|AB|＋|AF2|＋|BF2|＝|AF1|＋|AF2|＋|BF1|＋|BF2|＝4a＝16，∴a＝4.

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又离心率e＝＝

ca2222

，∴c＝22，∴b＝a－c＝8， 2

∴椭圆C的方程为＋＝1.

168[答案] (1)C (2)＋＝1

168

[规律方法] “回归定义”解题的三点应用 应用一：在求轨迹方程时，若所求轨迹符合某种圆锥曲线的定义，则根据圆锥曲线的定义，写出所求的轨迹方程； 应用二：涉及椭圆、双曲线上的点与两个定点构成的三角形问题时，常用定义结合解三角形的知识来解决； 应用三：在求有关抛物线的最值问题时，常利用定义把到焦点的距离转化为到准线的距离，结合几何图形，利用几何意义去解决． 提醒：应用定义解题时注意圆锥曲线定义中的限制条件． [跟踪训练] 1．点P是抛物线y＝8x上的任意一点，F是抛物线的焦点，点M的坐标是(2,3)，求|PM|＋|PF|的最小值，并求出此时点P的坐标．

[解] 抛物线y＝8x的准线方程是x＝－2，那么点P到焦点F的距离等于它到准线x＝－2的距离，过点P作PD垂直于准线x＝－2，垂足为D，那么|PM|＋|PF|＝|PM|＋|PD|.

2

2

x2y2

x2y2

如图所示，根据平面几何知识，当M，P，D三点共线时，|PM|＋|PF|的值最小，且最小值为|MD|＝2－(－2)＝4，

所以|PM|＋|PF|的最小值是4.

9?9?此时点P的纵坐标为3，所以其横坐标为，即点P的坐标是?，3?.

8?8?

圆锥曲线的方程 金戈铁制卷

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1

(1)已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F(1,0)，离心率等于，则C的方程是

2

( )

A．＋＝1

34C．＋＝1

42

2

x2y2x2y2

B．＋＝1

43D．＋＝1 43

x2y2

x2y2

x2y2

(2)已知抛物线y＝8x的准线过双曲线2－2＝1(a>0，b>0)的一个焦点，且双曲线的离

ab心率为2，则该双曲线的方程为________．

c＝1??

[解析] (1)由题意得?c1

＝??a2

2

2

2

??a＝2

，解得?

?c＝1?

2

，

则b＝a－c＝3，故椭圆方程为＋＝1.

43

x2y2

c＝2??

(2)由题意得?c＝2??a

22

??a＝1

，解得?

??c＝2

，则b＝c－a＝3，

22

因此双曲线方程为x－＝1.

3[答案] (1)D (2)x－＝1

3

[规律方法] 求圆锥曲线方程的一般步骤 一般求已知曲线类型的曲线方程问题，可采用“先定形，后定式，再定量”的步骤． (1)定形——指的是二次曲线的焦点位置与对称轴的位置． (2)定式——根据“形”设方程的形式，注意曲线系方程的应用，如当椭圆的焦点不确定在哪个坐标轴上时，可设方程为mx＋ny＝1(m>0，n>0)． (3)定量——由题设中的条件找到“式”中待定系数的等量关系，通过解方程得到量的大小． [跟踪训练] 2．(1)以x轴为对称轴，通径长为8，顶点为坐标原点的抛物线方程是( ) A．y＝8x B．y＝－8x

C．y＝8x或y＝－8x D．x＝8y或x＝－8y

C [由题意知2p＝8，故选C．]

2

2

2

2

22

22y2

y2

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