当前位置：首页 > 15-16版6.1 垂直关系的判定（创新设计）
§6 垂直关系
6．1 垂直关系的判定
[学习目标] 1.掌握直线与平面垂直的判定定理.2.理解二面角的有关概念，会求简单的二面角的大小.3.掌握两平面垂直的判定定理．
[知识链接]
生活中处处都有线面、面面垂直的例子，如旗杆和地面、路灯与地面、墙面与地面等等．在判断线面、面面平行时我们有判定定理，那么判断线面垂直又有什么好办法呢？ [预习导引]
1．直线和平面垂直的判定定理
(1)文字语言：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么该直线与此平面垂直． (2)图形语言：如图所示．
(3)符号语言：aα，bα，a∩b＝A，l⊥a，l⊥b?l⊥α. 2．二面角
(1)二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角．这条直线叫做二面角的棱．这两个半平面叫做二面角的面．
如图(1)可记作：二面角α-l-β或P-AB-Q或P-l-Q.
如图(2)对二面角α-l-β若有： ①O∈l；
②OAα，OBβ； ③OA⊥l，OB⊥l.
则∠AOB就叫做二面角α-l-β的平面角． 3．平面与平面的垂直
(1)定义：两个平面相交，如果所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直． (2)画法：
记作：α⊥β.
(3)面面垂直的判定定理
文字语言：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直． 符号表示：
?a⊥β??aα?
??α⊥β.
图形表示：如图所示
要点一 线面垂直的判定
例1 如图所示，在三棱柱ABC-A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，AB＝AC＝1，AA1＝2，∠B1A1C1＝90°，D为BB1的中点． 求证：AD⊥平面A1DC1. 证明 ∵AA1⊥底面ABC， 平面A1B1C1∥平面ABC， ∴AA1⊥平面A1B1C1， 又∵A1C1平面A1B1C1， ∴A1C1⊥AA1. 又∠B1A1C1＝90°，
∴A1C1⊥A1B1而A1B1∩AA1＝A1，
∴A1C1⊥平面AA1B1B，AD平面AA1B1B， ∴A1C1⊥AD.
由已知计算得AD＝2，A1D＝2，AA1＝2. ∴AD2＋A1D2＝AA21， ∴A1D⊥AD. ∵A1C1∩A1D＝A1， ∴AD⊥平面A1DC1.
规律方法 证线面垂直的方法有三类
(1)线线垂直证明线面垂直：①定义法(不常用，但由线面垂直可得出线线垂直)；②判定定理
最常用：要着力寻找平面内哪两条相交直线(有时作辅助线)；结合平面图形的性质(如勾股定理逆定理等腰三角形底边中线等)及一条直线与平行线中一条垂直也与另一条垂直等结论来论证线线垂直．
(2)平行转化法(利用推论)： ①a∥b，a⊥α?b⊥α； ②α∥β，a⊥α?a⊥β.
跟踪演练1 如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是棱AB，BC的中点，O是底面ABCD的中心，求证：EF⊥平面BB1O. 证明 ∵ABCD为正方形，
∴AC⊥BO.又∵BB1⊥平面ABCD，AC平面ABCD，∴AC⊥BB1，
又∵BO∩BB1＝B，∴AC⊥平面BB1O，又EF是△ABC的中位线，∴EF∥AC，∴EF⊥平面BB1O.
要点二 面面垂直的判定与证明
例2 如图，AB是⊙O的直径，PA垂直于⊙O所在的平面，C是圆周上异于A、B的任意一点，求证：平面PAC⊥平面PBC.
证明 连接AC，BC，则BC⊥AC，又PA⊥平面ABC，BC平面ABC. ∴PA⊥BC，而PA∩AC＝A， ∴BC⊥平面PAC， 又BC平面PBC， ∴平面PAC⊥面PBC.
规律方法 面面垂直的判定定理是证明面面垂直的常用方法，即要证面面垂直，只需转证线面垂直，关键是在其中一个平面内寻找一直线与另一个平面垂直． 跟踪演练2 如图，四棱锥PABCD的底面是正方形，PD⊥底面ABCD，点E在棱PB上．求证：平面AEC⊥平面PDB. 证明 设AC∩BD＝O，连接OE.
∵AC⊥BD，AC⊥PD，PD，BD为平面PDB内两条相交直线，∴AC⊥平面PDB. 又∵AC平面AEC，∴平面AEC⊥平面PDB. 要点三 二面角
例3 如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，求二面角B-A1C1-B1的正切值． 解 取A1C1的中点O， 连接B1O，BO. 由题意知B1O⊥A1C1，
又BA1＝BC1，O为A1C1的中点， 所以BO⊥A1C1，
所以∠BOB1即是二面角B-A1C1-B1的平面角． 因为BB1⊥平面A1B1C1D1，OB1平面A1B1C1D1， 所以BB1⊥OB1.设正方体的棱长为a，则OB1＝
2
a， 2
BB1a
在Rt△BB1O中，tan∠BOB1＝＝＝2，
OB12
a2所以二面角BA1C1B1的正切值为2.
规律方法 1.求二面角的大小关键是要找出或作出平面角．再把平面角放在三角形中，利用解三角形得到平面角的大小或三角函数值，其步骤为作角→证明→计算．
2．为在适当位置作出平面角要注意观察二面角两个面的图形特点，如是否为等腰三角形等． 跟踪演练3 已知正四棱锥的高为3，底面对角线的长为26，求侧面与底面所成的二面角． 解 设正四棱锥为S-ABCD， 如图所示，底面边长为a， 则2a2＝(26)2， ∴a2＝12.
设O为S在底面上的射影，则SO＝3，作OE⊥CD于E，连接SE， 可知SE⊥CD，∠SEO为所求二面角的平面角． h3×22×3tan∠SEO＝＝＝＝3，∴∠SEO＝60°.
a12232∴侧面与底面所成的二面角的大小为60°.
1．一条直线和三角形的两边同时垂直，则这条直线和三角形的第三边的位置关系是( ) A．平行 C．相交不垂直 答案 B
解析 由题意可知，该直线垂直于三角形所确定的平面，故这条直线和三角形的第三边也垂
B．垂直 D．不确定
本文作者：...共分享92篇相关文档
