2008年全国统一高考数学试卷(理科)(全国卷二)及答案

由题意知ξ～B（104，p）．

（Ⅰ）记A表示事件：保险公司为该险种至少支付10000元赔偿金， 则发生当且仅当ξ=0，

=1﹣P（ξ=0）=1﹣（1﹣p）104，

又P（A）=1﹣0.999104， 故p=0.001．

（Ⅱ）该险种总收入为10000a元，支出是赔偿金总额与成本的和． 支出10000ξ+50000，

盈利η=10000a﹣（10000ξ+50000），

盈利的期望为Eη=10000a﹣10000Eξ﹣50000， 由ξ～B（104，10﹣3）知， Eξ=10000×10﹣3，

Eη=104a﹣104Eξ﹣5×104=104a﹣104×104×10﹣3﹣5×104． Eη≥0?104a﹣104×10﹣5×104≥0?a﹣10﹣5≥0?a≥15（元）． ∴每位投保人应交纳的最低保费为15元．

19．（12分）（2008?全国卷Ⅱ）如图，正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=2AB=4，点E在CC1上且C1E=3EC． （Ⅰ）证明：A1C⊥平面BED； （Ⅱ）求二面角A1﹣DE﹣B的大小．

【分析】法一：（Ⅰ）要证A1C⊥平面BED，只需证明A1C与平面BED内两条相交直线BD，EF都垂直；

（Ⅱ）作GH⊥DE，垂足为H，连接A1H，说明∠A1HG是二面角A1﹣DE﹣B的平面角，然后解三角形，求二面角A1﹣DE﹣B的大小．

法二：建立空间直角坐标系，（Ⅰ）求出面DBE．

，证明A1C⊥平

（Ⅱ）求出 平面DA1E和平面DEB的法向量，求二者的数量积可求二面角A1﹣DE﹣B的大小． 【解答】解：解法一： 依题设知AB=2，CE=1．

（Ⅰ）连接AC交BD于点F，则BD⊥AC． 由三垂线定理知，BD⊥A1C．（3分） 在平面A1CA内，连接EF交A1C于点G， 由于

，

故Rt△A1AC∽Rt△FCE，∠AA1C=∠CFE，∠CFE与∠FCA1互余． 于是A1C⊥EF．A1C与平面BED内两条相交直线BD，EF都垂直， 所以A1C⊥平面BED．（6分）

（Ⅱ）作GH⊥DE，垂足为H，连接A1H．由三垂线定理知A1H⊥DE， 故∠A1HG是二面角A1﹣DE﹣B的平面角．（8分）

，．

又

，

．．（（12分））

．

，

．

，

所以二面角A1﹣DE﹣B的大小为解法二：

以D为坐标原点，射线DA为x轴的正半轴， 建立如图所示直角坐标系D﹣xyz．

依题设，B（2，2，0），C（0，2，0），E（0，2，1），A1（2，0，4）．

，

（Ⅰ）因为

，

，

．（3分）

故A1C⊥BD，A1C⊥DE． 又DB∩DE=D，

所以A1C⊥平面DBE．（6分）

（Ⅱ）设向量=（x，y，z）是平面DA1E的法向量，则故2y+z=0，2x+4z=0．

令y=1，则z=﹣2，x=4，=（4，1，﹣2）．（9分）﹣DE﹣B的平面角，

所以二面角A1﹣DE﹣B的大小为

．（12分）

，．

等于二面角A1

20．（12分）（2008?全国卷Ⅱ）设数列{an}的前n项和为Sn．已知a1=a，an+1=Sn+3n，n∈N*．由

（Ⅰ）设bn=Sn﹣3n，求数列{bn}的通项公式； （Ⅱ）若an+1≥an，n∈N*，求a的取值范围．

【分析】（Ⅰ）依题意得Sn+1=2Sn+3n，由此可知Sn+1﹣3n+1=2（Sn﹣3n）．所以bn=Sn﹣3n=（a﹣3）2n﹣1，n∈N*．

（Ⅱ）由题设条件知Sn=3n+（a﹣3）2n﹣1，n∈N*，于是，an=Sn﹣Sn﹣

1=

，由此可以求得a的取值范围是[﹣9，+∞）．

【解答】解：（Ⅰ）依题意，Sn+1﹣Sn=an+1=Sn+3n，即Sn+1=2Sn+3n， 由此得Sn+1﹣3n+1=2Sn+3n﹣3n+1=2（Sn﹣3n）．（4分）

因此，所求通项公式为bn=Sn﹣3n=（a﹣3）2n﹣1，n∈N*．①（6分） （Ⅱ）由①知Sn=3n+（a﹣3）2n﹣1，n∈N*， 于是，当n≥2时，

an=Sn﹣Sn﹣1=3n+（a﹣3）×2n﹣1﹣3n﹣1﹣（a﹣3）×2n﹣2=2×3n﹣1+（a﹣3）2n﹣2， an+1﹣an=4×3n﹣1+（a﹣3）2n﹣2=当n≥2时，又a2=a1+3＞a1．

综上，所求的a的取值范围是[﹣9，+∞）．（12分）

21．（12分）（2008?全国卷Ⅱ）设椭圆中心在坐标原点，A（2，0），B（0，1）是它的两个顶点，直线y=kx（k＞0）与AB相交于点D，与椭圆相交于E、F两点． （Ⅰ）若

，求k的值；

，

?a≥﹣9．

（Ⅱ）求四边形AEBF面积的最大值．

【分析】（1）依题可得椭圆的方程，设直线AB，EF的方程分别为x+2y=2，y=kx，D（x0，kx0），E（x1，kx1），F（x2，kx2），且x1，x2满足方程（1+4k2）x2=4，进而求得x2的表达式，进而根据

求得x0的表达式，由D在AB上知x0+2kx0=2，

进而求得x0的另一个表达式，两个表达式相等求得k．

（Ⅱ）由题设可知|BO|和|AO|的值，设y1=kx1，y2=kx2，进而可表示出四边形AEBF的面积进而根据基本不等式的性质求得最大值． 【解答】解：（Ⅰ）依题设得椭圆的方程为直线AB，EF的方程分别为x+2y=2，y=kx（k＞0）．

如图，设D（x0，kx0），E（x1，kx1），F（x2，kx2），其中x1＜x2，

，