2008年全国统一高考数学试卷(理科)(全国卷二)及答案

4．（5分）（2008?全国卷Ⅱ）若x∈（e﹣1，1），a=lnx，b=2lnx，c=ln3x，则（ ） A．a＜b＜c B．c＜a＜b C．b＜a＜c D．b＜c＜a

【分析】根据函数的单调性，求a的范围，用比较法，比较a、b和a、c的大小． 【解答】解：因为a=lnx在（0，+∞）上单调递增， 故当x∈（e﹣1，1）时，a∈（﹣1，0）， 于是b﹣a=2lnx﹣lnx=lnx＜0，从而b＜a．

又a﹣c=lnx﹣ln3x=a（1+a）（1﹣a）＜0，从而a＜c． 综上所述，b＜a＜c． 故选C

5．（5分）（2008?全国卷Ⅱ）设变量x，y满足约束条件：，则z=x﹣3y

的最小值（ ）

A．﹣2 B．﹣4 C．﹣6 D．﹣8 【分析】我们先画出满足约束条件：

的平面区域，求出平面区域的各

角点，然后将角点坐标代入目标函数，比较后，即可得到目标函数z=x﹣3y的最小值．

【解答】解：根据题意，画出可行域与目标函数线如图所示， 由图可知目标函数在点（﹣2，2）取最小值﹣8 故选D．

6．（5分）（2008?全国卷Ⅱ）从20名男同学，10名女同学中任选3名参加体能测试，则选到的3名同学中既有男同学又有女同学的概率为（ ） A．

B．

C．

D．

【分析】由题意知本题是一个古典概型，试验发生的所有事件从30名同学中任选3名参加体能测试共有C303种结果，而满足条件的事件是选到的3名同学中既有男同学又有女同学共有C201C102+C202C101种结果．代入公式得到结果． 【解答】解：由题意知本题是一个古典概型，

∵试验发生的所有事件从30名同学中任选3名参加体能测试共有C303种结果， 满足条件的事件是选到的3名同学中既有男同学又有女同学共有C201C102+C202C101种结果，

∴由古典概型公式得到

，

故选D．

7．（5分）（2008?全国卷Ⅱ）（1﹣A．﹣4 B．﹣3 C．3

D．4

的常数项与

展

）6（1+

）4的展开式中x的系数是（ ）

【分析】展开式中x的系数由三部分和组成：开式的x的系数积；

的

的系数与

的展开式的x的系数与的

的常数项的积；

的系数积．利用二项展开式的通项求得

各项系数． 【解答】解：∴﹣C61

的展开式的通项为

∴故

的展开式的通项为

展开式中常数项为C60，含x的项的系数为C62，含

的项的系数为

的展开式中的x的系数为C42，常数项为C40，含

的展开式中x的系数是

的项的系数为C41

C60C42+C62C40﹣C61C41=6+15﹣24=﹣3 故选项为B

8．（5分）（2008?全国卷Ⅱ）若动直线x=a与函数f（x）=sinx和g（x）=cosx的图象分别交于M，N两点，则|MN|的最大值为（ ） A．1

B．

C．

D．2

【分析】可令F（x）=|sinx﹣cosx|求其最大值即可． 【解答】解：由题意知：f（x）=sinx、g（x）=cosx 令F（x）=|sinx﹣cosx|=当x﹣故选B．

9．（5分）（2008?全国卷Ⅱ）设a＞1，则双曲线值范围是（ ） A．

B．

C．（2，5） D．

|sin（x﹣+kπ，即当a=

）|

+kπ时，函数F（x）取到最大值

=+kπ，x=

的离心率e的取

【分析】根据题设条件可知：

的取值范围可以求出离心率e的取值范围．

，然后由实数a

【解答】解：

因为是减函数，所以当a＞1时所以2＜e2＜5，即故选B．

，

，

，

10．（5分）（2008?全国卷Ⅱ）已知正四棱锥S﹣ABCD的侧棱长与底面边长都相等，E是SB的中点，则AE、SD所成的角的余弦值为（ ） A． B．

C．

D．

【分析】由于是正方体，又是求角问题，所以易选用向量量，所以建立如图所示坐标系，先求得相关点的坐标，进而求得相关向量的坐标，最后用向量夹角公式求解．

【解答】解：建立如图所示坐标系，

令正四棱锥的棱长为2，则A（1，﹣1，0），D（﹣1，﹣1，0）， S（0，0，=

=（﹣1，﹣1，﹣∴cos＜故选C．

＞=

），E

， ）

，

11．（5分）（2008?全国卷Ⅱ）等腰三角形两腰所在直线的方程分别为x+y﹣2=0与x﹣7y﹣4=0，原点在等腰三角形的底边上，则底边所在直线的斜率为（ ）