传染病传播的数学模型

给别人了。因此必须对模型作进一步的修改，建立新的模型。

三. 模型的进一步完善

从上面的分析我们看到模型 (2.2) 的假设 (2) 是不合理的。即不可能一人得病后会经久不愈，必有一部份人因医治或自身的免疫力，或是被隔离，或是死去而成为不会再继续传染给别人的第三类人。因此我们把人群分成三类：

第一类由能够把疾病传染给别人的那些传染者组成的。用 I(t) 表示 t 时刻第一类人数。

第二类是由并非传染者但能够得病而成为传染者的那些人组成的，用 S(t) 表示 t 时刻第二类人数。

第三类包括患病后死去的人，病愈后具有长期免疫力的人，以及在得病后被隔离起来的人。用R(t) 表示 t 时刻第三类人数。

假设疾病传染服从下列法则：

(1) 在所考虑的时期内人口总数保持在固定水平N，即不考虑出生及其他原因引起的死亡，以及人口的迁入迁出的情况。

(2) 易受传染者人数S(t)的变化率正比于第一类的人数I(t)与第二类人粉S(t)的乘积。

(3) 由第一类向第三类转变的速度与第一类的人数成正比。 在这三条假设情况下可得如下微分方程：

?dS?dt??rsI??dI??rsI??I?dt?dR?dt??I? ???? (2.6)

其中r、λ为比例常数，r为传染率，λ为排除率。

由方程(2.6)的三个方程相加得

dS?t??I?t??R?t???0 ? ??dt则

S?t???I?t??R常数??人口总数N?t??

R?t??N??S?t???I t因此只要求出 S(t)、I(t) 即可求出 R(t) 。

方程组 (2.6) 的第一个和第二个方程与 R(t) 无关。因此，由

故

?dS??rSI??dt??dI?rSI??I??dt ???? (2.7)

得

dIrSI??I????1?dS?rSIrSI?S???S? ???? (2.8)

?r积分得

lnS?c

并记

由初始条件：当

t?t0时,I?t0??I0,S?t0??S0???r

代入上式可确定常数

c?I0?S0??lnS 0最后得 (2.9)

SI?S??I0?S0?S??lnS0 ????

下面我们讨论积分曲线 (2.9) 的性质，由(2.8)知

S＞??＜0??,I?S???1???0S?? S?S＜??＞0所以当S＜ρ时，I(S) 是S的增函数，S＞ρ时，I(S) 是S的减函数。

又有I(0)=－∞，I?S0??I0＞0, 由连续函数的中间值定理及单调性知，存在唯一点S?，

0＜S?＜S0，使得I?S0??0, 而当

S?＜S?0S 时，I(S)＞0 。

dSdI?0,?0，所以?S?,0?为方程组 由 (2.7) 知I=0时，dtdt(2.7) 的平衡点。

当t?t0 时，方程(2.9)的的图形如图2-3。当t由t0变到 ∞ 时，点(S(t)，I(t))沿曲线 (2.9) 移动，并沿S减少的方向移动，因为 S(t) 随时间的增加而单调减少。因此，如果S0小于ρ，则 I(t) 单调减少到零，S(t) 单调减少到S?。所以，如果为数不多的一群传染者I0分散在居民S0中，且S0??，则这种病会很快被消灭。

如果S0??，则随着 S(t) 减少到ρ

时，I(t) 增加，且当S=

ρ时，I(t) 达到最大值。当S(t)＜ρ 时 I(t) 才开始减少。

由上分析可以得出如不结论：

???只有当居民中的易受传染者的人数超过阈值 时传染

r病才会蔓延。

用一般常识来检验上面的结论也是符合的。当人口拥挤，密度高，缺少应有的科学文化知识，缺乏必要的医疗条件，隔离不良而排除率低时，传染病会很快蔓延；反之，人口密度低，社会条件好，有良好的医疗条件和较好的管理而排除率高时，则传染病在有限范围内出现会很快被消灭。

传染病学中的阈值定理 设S0???r，且假设

r?同1相比

是小量。并设最初传染者人数I0很小，则最终患病人数为2r。即是易受传染者的人数最初比阈值高多少，那么最终就会比阈值低多少。这就是有名的传染病阈值定理。生物数学家Kermack和Mekendrick在1927年首先证明了这个定理(证明从略)