2014年5月 高考数学20题 圆锥曲线含答案讲解

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系式，与m2+4n2=4联立解出即可． 解答： 解：（1）由题意可得解得a=2，b=1，， 所以椭圆的方程为． （2）在△AOB中，|OA|=|OB|=1，∴， 当且仅当∠AOB=90°时，S△AOB有最大值， 当∠AOB=90°时，点O到直线AB的距离为． 由??m2+n2=2． 又∵m2+4n2=4，联立 ?2010-2014 菁优网

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www.jyeoo.com 解得，此时点M点评： ． 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、对角线相互垂直的四边形的面积计算公式、直线与圆相交交点与原点得到三角形的面积最大问题、点到直线的距离公式等知识与方法，要求有较强的推理能力和计算能力． 5．（2013?青岛一模）设F1F2别是椭圆D：

的左、右焦点，过F2斜角为

的直线交椭圆D

于A、B点，F1到直线AB的距离为3，连接椭圆D的四个顶点得到的菱形面积为4． （Ⅰ）求椭圆D的方程； （Ⅱ）作直线l与椭圆D交于不同的两点P，Q，其中P点的坐标为（﹣A，0），若点N（0，t）是线段PQ垂直平分线的一点，且满足 考点： ，求实数t的值．

专题： 分析： 直线与圆锥曲线的关系；平面向量数量积的运算；椭圆的标准方程． 综合题；分类讨论；圆锥曲线的定义、性质与方程． （Ⅰ）设F1，F2的坐标分别为（﹣c，0），（c，0），其中c＞0，由点斜式可得 ?2010-2014 菁优网

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AB方程，由F1到直线AB的距离为3，得=3，解出得c，由菱形面积为4得，再由a2﹣b2=c2=3即可解得a，b值； （Ⅱ）由（Ⅰ）得P（﹣2，0），设Q（x1，y1），易知直线l存在斜率，设直线l的方程为y=k（x+2），代入椭圆方程消掉y得x的二次方程，由韦达定理可用k表示x1，代入直线方程得y1，从而可得线段PQ中点坐标，分情况讨论：当k=0时由易求t值；当k≠0时由点斜式可得垂直平分线方程，把点N坐标代入该方程可用k表示出t，再由可求得k，进而可得t值，综合两种情况可得t值； 解答： 解：（Ⅰ）设F1，F2的坐标分别为（﹣c，0），（c，0），其中c＞0，由题意得AB的

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方程为：y=（x﹣c）， 因F1到直线AB的距离为3，所以有=3，解得c=， 所以有a2﹣b2=c2=3，① 由题意知：，即ab=2，② 联立①②解得：a=2，b=1， 所求椭圆D的方程为． （Ⅱ）由（Ⅰ）知：P（﹣2，0），设Q（x1，y1）， 根据题意可知直线l的斜率存在，设直线l的方程为y=k（x+2）， 把它代入椭圆D的方程，消去y，整理得：（1+4k2）x2+16k2x+（16k2﹣4）=0， 由韦达定理得﹣2+x1=﹣，则，， 所以线段PQ的中点坐标为 ?2010-2014 菁优网