2014年5月 高考数学20题 圆锥曲线含答案讲解

2014年5月向波的高中数学组卷

一．填空题（共1小题）

2

1．（2012?浙江）定义：曲线C上的点到直线l的距离的最小值称为曲线C到直线l的距离，已知曲线C1：y=x+a

22

到直线l：y=x的距离等于曲线C2：x+（y+4）=2到直线l：y=x的距离，则实数a= _________ ．

二．解答题（共29小题） 2．（2010?天津）已知椭圆

（a＞b＞0）的离心率e=

，连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为4．

（Ⅰ）求椭圆的方程； （Ⅱ）设直线l与椭圆相交于不同的两点A、B，已知点A的坐标为（﹣a，0）． （i）若

，求直线l的倾斜角；

．求y0的值．

（ii）若点Q（0，y0）在线段AB的垂直平分线上，且

3．如图，AB是圆O的直径，C是半径OB的中点，D是OB延长线上一点，且BD=OB，直线MD与圆O相交于点M、T（不与A、B重合），DN与圆O相切于点N，连接MC，MB，OT． （Ⅰ）求证：DT?DM=DO?DC； （Ⅱ）若∠DOT=60°，试求∠BMC的大小．

4．在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：

（a＞b＞0）的离心率e=

，连接椭圆C的四个顶点得到

的四边形的面积为4． （1）求椭圆C的方程；

22

（2）在椭圆C上，是否存在点M（m，n）使得直线l：mx+ny=1与圆O：x+y=1相交于不同的两点A，B，且△ABO的面积最大？若存在，求出点M的坐标及相对应的△ABO的面积；若不存在，请说明理由．

5．（2013?青岛一模）设F1F2别是椭圆D：

的左、右焦点，过F2斜角为

的直线交椭圆D

于A、B点，F1到直线AB的距离为3，连接椭圆D的四个顶点得到的菱形面积为4． （Ⅰ）求椭圆D的方程； （Ⅱ）作直线l与椭圆D交于不同的两点P，Q，其中P点的坐标为（﹣A，0），若点N（0，t）是线段PQ垂直平分线的一点，且满足

，求实数t的值．

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www.jyeoo.com 6．（2010?宿州三模）已知离心率为圆x+y=1所得弦长为． （1）求椭圆C的方程；

（2）过D（﹣2，0）的直线l与椭圆C交于不同的两点A、B，

7．已知圆的方程为x+y=4，过点M（2，4）作圆的两条切线，切点分别为A1、A2，直线A1A2恰好经过椭圆

的右顶点和上顶点．

（Ⅰ）求椭圆的方程； （Ⅱ）设直线x=﹣1与椭圆相交于A、B两点，P是椭圆上异于A、B的任意一点，直线AP、BP分别交定直线l：x=﹣4于两点Q、R，求证

为定值．

2

2

2

2

的椭圆C：的左焦点为F，上顶点为E，直线EF截

．试探究的取值范围．

8．（2014?湖南一模）已知椭圆双曲线n的离心率之和为2． （1）求椭圆m的方程；

（2）过椭圆m上的动点P作互相垂直的两条直线l1，l2，l1与圆O：x+y=a+b相交于点A，C，l2与圆x∈[2，6]相交于点B，D，求四边形ABCD的面积的最小值．

2

2

2

2

与双曲线有两个公共点，且椭圆m与

9．如图，已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在x轴上，它的一个顶点为A（0，

），且离心率等于

，过点M

（0，2）且斜率为k的直线l与椭圆相交于P，Q不同两点（与点B不重合），椭圆与x轴的正半轴相交于点B．

（Ⅰ）求椭圆的标准方程； （Ⅱ）若

，求直线l的方程．

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10．（2014?武侯区模拟）已知椭圆C的两个焦点是（0，﹣线的顶点E在坐标原点，焦点恰好是椭圆C的右顶点F． （Ⅰ）求椭圆C和抛物线E的标准方程；

（Ⅱ）过点F作两条斜率都存在且互相垂直的直线l1、l2，l1交抛物线E于点A、B，l2交抛物线E于点G、H，求的最小值．

11．已知一条抛物线和一个椭圆都经过点M（1，2），它们在x轴上具有相同的焦点F1，且两者的对称轴都是坐标轴，抛物线的顶点在坐标原点． （1）求抛物线的方程和椭圆方程；

（2）假设椭圆的另一个焦点是F2，经过F2的直线l与抛物线交于P，Q两点，且满足围．

12．已知椭圆C1、抛物线C2的焦点均在x轴上，C1的中心和C2的顶点均为原点O，从每条曲线上取两个点，将其坐标记录如下：A1（3，﹣2

）、A2（﹣2，0）、A3（4，﹣4）、A4（

，

）．

，求m的取值范

）和（0，

），并且经过点

，抛物

（Ⅰ）经判断点A1，A3在抛物线C2上，试求出C1、C2的标准方程；

（Ⅱ）求抛物线C2的焦点F的坐标并求出椭圆C1的离心率； （Ⅲ）过C2的焦点F直线l与椭圆C1交不同两点M，N，且满足

，试求出直线l的方程．

13．已知抛物线C的顶点为坐标原点，椭圆C′的对称轴是坐标轴，抛物线C在x轴上的焦点恰好是椭圆C′的焦点 （Ⅰ）若抛物线C和椭圆C′都经过点M（1，2），求抛物线C和椭圆C′的方程； （Ⅱ）已知动直线l过点p（3，0），交抛物线C于A，B两点，直线l′：x=2被以AP为直径的圆截得的弦长为定值，求抛物线C的方程； （Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，分别过A，B的抛物线C的两条切线的交点E的轨迹为D，直线AB与轨迹D交于点F，求|EF|的最小值．

14．已知抛物线C的顶点是坐标原点，对称轴是x轴，且点P（1，﹣2）在该抛物线上，A，B是该抛物线上的两个点． （Ⅰ）求该抛物线的标准方程及焦点坐标； （Ⅱ）若直线AB经过点M（4，0），证明：以线段AB为直径的圆恒过坐标原点； （Ⅲ）若直线AB经过点N（0，4），且满足

，求直线AB的方程．

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www.jyeoo.com 15．已知抛物线y=8x与椭圆

2

+=1有公共焦点F，且椭圆过点D（﹣）．

（1）求椭圆方程；

（2）点A、B是椭圆的上下顶点，点C为右顶点，记过点A、B、C的圆为⊙M，过点D作⊙M的切线l，求直线l的方程；

（3）过点A作互相垂直的两条直线分别交椭圆于点P、Q，则直线PQ是否经过定点，若是，求出该点坐标，若不经过，说明理由．

16．已知中心在原点的椭圆C1经过点

，且F（0，2）是它的一个焦点．抛物线C2的顶点在原点，焦

点为F（0，2），过点B（4，4）作直线交抛物线C2于M，N两点，C2在M，N两点处的切线分别是l1，l2，且l1∩l2=P． （1）求椭圆C1的方程及它的准线方程．

（2）探究点P能否在椭圆C1上，若能，求出它的坐标，若不能说明理由． （3）利用定积分的知识求椭圆C1的面积．

17．（2014?成都模拟）已知椭圆W的中心在原点，焦点在X轴上，离心率为

，椭圆短轴的一个端点与两焦点构

成的三角形的面积为2，椭圆W的左焦点为F，过x轴的一点M（﹣3，0）任作一条斜率不为零的直线L与椭圆W交于不同的两点A、B，点A关于X轴的对称点为C． （1）求椭圆W的方程； （2）求证：

=λ

（λ∈R）；

（3）求△MBC面积S的最大值．

18．（2014?天津三模）已知椭圆C的中心在原点，离心率等于，它的一个短轴端点点恰好是抛物线x=8点．

（1）求椭圆C的方程； （2）已知P（2，3）、Q（2，﹣3）是椭圆上的两点，A，B是椭圆上位于直线PQ两侧的动点， ①若直线AB的斜率为，求四边形APBQ面积的最大值；

②当A、B运动时，满足∠APQ=∠BPQ，试问直线AB的斜率是否为定值，请说明理由．

2

y的焦

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